A是n阶方阵,X(A)-搜答案-智慧作业帮

由A^2=A知道A的特征值只能是1和0若|A+E|=0,则-1是其特征值,这不可能所以|A+E|≠0,即可逆

(A+E)的平方=OA²+2A+E=OA(A+2E)=-EA(-A-2E)=E所以有定义可知A可逆.

由（A+E)^2=0得A^2+2A+E=0A(-A-2E)=E所以A可逆且逆矩阵为-A-2E

x^T(AA^T)x=(A^Tx)^T(A^Tx)这是A^Tx与A^Tx的内积,恒有>=0所以AA^T半正定(对称略)再问：x是任意一个矩阵吗？再答：是任一列向量这应该是显然的,半正定的定义中有

CB^n=ACB^(n-1)=...=A^n*B所以任何多项式F有CF(B)=F(A)C所以任何R事B的特征值X属于B的R-根子空间,则存在n有（R-B）^nX=0则（R-A）^nCX=C（R-B）^

对再答：行秩等于列秩等于矩阵的秩再答：行向量组的秩是它最大线性无关组中向量的个数

∵n阶方阵A可逆⇔|A|≠0⇔r（A）=n∴C、D错误又A的行列式等于其特征值的乘积∴由|A|≠0可知，A的特征值全不为零∴A错误，B正确故选：B．

证明:因为A^2=A,所以A(A-E)=0所以r(A)+r(A-E)

[A+E]=[A+A*A']=[A][E+A']=[A][(A+E)']=[A]*[A+E]得到（1-[A])[A+E]=0因为|A|

不对.相似矩阵有相同的秩A的秩等于那个对角矩阵主对角线上非零元素的个数

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给你例子看看A=[1,0;0,0],B=[0,0;0,1]则因为r(A)=r(B)=1,所以A与B等价.但它们的行向量组,列向量组都不等价A的行向量组是(1,0),(0,0)B的行向量组是(0,0),

f(A)=aA^2+bA+cE矩阵多项式f（）的定义就是这样.

证法一由于有关系式（A的秩）＋（Ax＝0的解空间维数）＝n现在依照题意,Ax＝0的解空间是整个空间,即（Ax＝0的解空间维数）＝n所以A的秩是零,因此A＝0证法二（反证）设A≠0,则A的某个元素a（i

假设A+E不可逆,则|A+E|=0所以-1是A的一个特征值设ξ是属于-1的一个特征向量则A^2ξ=A(-ξ)=-Aξ=ξ但A^2=A所以A^2ξ=Aξ=-ξ矛盾

因为A的n个特征值互异所以A可对角化,且A相似于对角矩阵diag(a1,...,an)又因为n阶方阵B与A有相同的特征值所以B也可对角化,且B相似于对角矩阵diag(a1,...,an)由相似的传递性

(A)

1)r(A)=n等价于det(A)≠0等价于det(A*)=1等价于A*可逆等价于r(A*)=n2)

例如A=(01)(00)则A≠0且A^2=0

不对是|A|≠0由已知AX=0只有零解,这等价于|A|≠0.再问：刘老师早上好，答案就是A=0再答：不好意思我搞反了是所有的X,AX=0此时,基础解系应该含n个向量所以n-r(A)=n所以r(A)=0