A是可逆矩阵的充分必要条件 齐次线性

答案不对.因为A^2+aA+bE=0所以A(A+aE)=-bE当b≠0时,A可逆,且A^-1=-1/b(A+aE)..当b=0时,A(A+aE)=0,A的特征值只能是0,-a而A可逆的充要条件是A的特

有个定理证明:因为A的行列式等于它的所有特征值的乘积所以A可逆|A|≠0A的特征值都不等于0

充分性:由特征多项式为|λE-A|,-i不是根即有|-iE-A|≠0,从而|A+iE|≠0,即有A+iE可逆.必要性:A+iE可逆故|A+iE|≠0,从而|-iE-A|≠0,即-i不是特征多项式|λE

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设k是A的特征值则k是A^T的特征值,1/k是A^-1的特征值因为A正交,则A^-1=A^T所以k=1/k所以k=1or-1若A正定,则k=1.所以A的特征值都是1.所以A与单位矩阵相似所以A=E.反

提示：可逆矩阵可以看成若干初等矩阵的乘积.用等价矩阵秩相等去证.

A正定,则存在正交阵Q和对角元全是正数的对角阵D,使得A=Q^TDQ,记C是对角元是D的对角元的平方根的对角阵,即D＝C^2=C^TC,于是A=Q^TC^TCQ,P=CQ是可逆阵.反之,A=P^TP,

设B=[b1,b2,……,bs]那么AB=OA[b1,b2,……,bs]=[O,O,……,O]Abi=0,(i=1……s)即bi(i=1,2,...,s)是AX=O的解

知识点:n阶矩阵A的行列式等于其所有特征值的乘积.所以A可逆|A|≠0A的特征值都不等于0.

设f(x)=(x-b_1)(x-b_2).(x-b_n)即b_1,b_2,...,b_n是B特征根.则f（A）=（A-b_1E).....(A-b_nE)det(f(A))=det（A-b_1E）..

将B写成列向量的形式：B=[B1B2...Bs]当AB=0则AB=[AB1AB2...ABs]=0所以ABi=0所以：列向量Bi都是AX=0的解当B的列向量都是AX=0的解时,AB1=0AB2=0..

A矩阵不可逆|A|=0A的列(行)向量组线性相关R(A)

线性方程组AX=0有非零解r(A)

按矩阵理论,齐次线性方程组系数矩阵的秩不大于未知数的个数,当等于未知数的个数时,不但方程个数与未知数个数相等,而且说明各方程独立,即每一个方程都不能由其他方程代替,即此时矩阵满秩.按方程组理论,解只可

把B写出分块矩阵的形式,B=(b1,b2,..bs),其中bi是B的第i个列向量,(i=1,2..s)AB=0A(b1,b2,..bs)=(Ab1,Ab2,..Abs)=0=(0,0,...0)Abi

证明：Ax=b有唯一解,那么r(A,b)=r(A)=n,而A为n阶矩阵,所以r(A)=n可以得到A可逆同理,n阶矩阵A可逆,那么r(A)=n,而增广矩阵r(A,b)显然此时等于r(A),所以r(A,b

1式*a22-2式*a12得a11a22x1-a12a21x1=0若有非零解,需要a11a22-a12a21=0；另外,若a11a22-a12a21=0则1式*a22=2式*a12,即方程组有无穷多组

对选项（A）和（B）：举反例A＝1212，任一行列向量都是非零向量，但A不可逆；故排除选项A和B．对选项（C）：举反例，如A为n阶方阵，.A为增广矩阵，当：r(A)＝r(.A)＜n时，Ax=b有无穷多

因为|ABC|=|A||B||C|所以|ABC|≠0的充分必要条件是|A|,|B|,|C|都不等于0故ABC可逆的充分必要条件是A,B,C都可逆.