作业帮设A,B是N阶方阵,f(x）是B的特征多项式,证明f(A)是可逆矩阵的充分必要条件是A与B没有相同的特征值.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/08 21:46:25
设A,B是N阶方阵,f(x）是B的特征多项式,证明f(A)是可逆矩阵的充分必要条件是A与B没有相同的特征值.
设 f(x) = (x- b_1) (x-b_2 ) .(x - b_n )
即b_1,b_2,...,b_n 是B 特征根.
则 f （A）= （A - b_1 E ) .....(A- b_n E)
det(f(A)) = det （A - b_1 E ） ...det( A- b_n E )
f(A）是奇异阵 ⇔ det( f(A) ) =0
⇔ 有 det (A-b_j E ) =0 ⇔ 有 b_j 是A 的特征根
即b_1,b_2,...,b_n 是B 特征根.
则 f （A）= （A - b_1 E ) .....(A- b_n E)
det(f(A)) = det （A - b_1 E ） ...det( A- b_n E )
f(A）是奇异阵 ⇔ det( f(A) ) =0
⇔ 有 det (A-b_j E ) =0 ⇔ 有 b_j 是A 的特征根
设A,B是N阶方阵,f(x）是B的特征多项式,证明f(A)是可逆矩阵的充分必要条件是A与B没有相同的特征值.
设a,b,c都是n阶矩阵,证明abc可逆的充分必要条件是a,b,c都可逆
线性代数与解析几何设N阶方阵A的N个特征值互异,B是N阶可逆阵.证明AB=BA(充分必要条件)存在可逆阵P使得P逆AP和
设A,B为数域F上的两个n阶矩阵,证明：A与B相似的充分必要条件是它们对应的特征矩阵λE-A与λE-B等价
设A是n阶实对称证明a可逆的充分必要条件是存在n阶实矩阵b使得AB+B转置A是正定
设n阶方阵A的n个特征值互异,n阶方阵B与A有相同的特征值,证明：A与B是相似的?
设A为n阶矩阵,b为n维列向量,证明Ax=b有唯一解的充分必要条件是A可逆
a,b均为n阶方阵,b为幂零矩阵a可逆矩阵,且ab可交换,证明a与a+b有相同的特征多项式
线性代数A、B均为n阶实对称矩阵.证明：A与B合同的充分必要条件是二次型f=（X的转置）×A×X与二次型g=（Y 的转置
n阶矩阵A可逆的充分必要条件是（ ）
A为n阶方阵,b为n维列向量,证明Ax=b有唯一解的充分必要条件是A可逆.
设A,B都是n阶矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA