求不定方程x y z=16的正整数解的个数.

（x+y)^2=x^3+y^3(x+y)^2=(x+y)(x^2-xy+xy^2)x+y=x^2-xy+y^2x^2-(y+1)x+y^2-y=0判别式=(y+1)^2-4(y^2-y)=y^2+2y

xy+x+y=34xy+x+y+1=35(x+1)(y+1)=35而35=5×7所以x+1=5,y+1=7,那么x=4,y=6；x+1=7,y+1=5,那么x=6,y=4；

xy-x-y+1=1所以(x-1)(y-1)=1所以x-1=1或x-1=-1y-1=1y-1=-1所以x=2或x=0y=2y=0(舍去)所以x=2y=2

用隔板法解决.八个小球放一排,中间有七个空,用三个板将它们隔开,对应的个数就是未知数的解.而隔开的方法数就是解数.为3C7(七选三数)=35

不定方程：2X1+X2+x3+x4+x5+x6+x7+xx8+x9+x10=3（1）2x1=3-(x2+x3+...+x10)（2）由于x的最小的正整数是1,那么原方程的(1)正整数解的组数为0.也即

2、3、6

问题等价于求1/x+1/y+1/z=4/5的正整数解.4/5=（1/5)+(3/5)=(1/5)+(6/10)=(1/5)+(1/10)+(5/10)=(1/2)+(1/5)+(1/10).===>x

这就是所谓的等幂和问题.方程右边的x,y应该用不同的字母来表示.比如x^n+y^n=u^n+w^n事实上,当n=4时,已证明有无数组解,比如最小的一组是由欧拉找到的：133^4+134^4=158^4

ax+by+cz的取值和x无关,则x的系数为0所以a=0,同理,b=0,c=0则k=0+0+0所以a=b=c=k=0

设x为1,则y+z+t等于7,则有以下几种情况：1+1+5,1+2+4,1+3+3,1+4+2,1+5+1,2+1+4,2+2+3,2+3+2,2+4+1,3+1+3,3+2+2,3+3+1,4+1+

yzx+xy-------xyz假设x+y10x+y=z+10z+x+1=y+10x=y+1有小数舍

x=14,y=1,z=1------------1个x=13,y=1,2--------------2个x=12,y=1,2,3-----------3个.x=1,y=1,2,3,...14-----

不妨设x>=y>=z所以1/x=1/y>=1/6y=654x=67.512所以当x>=y>=z时6621242443633共四组解所以,打乱顺序后有3+6+3+3=15组解

x+y+xy=2011x(1+y)+(1+y)=2012(1+x)(1+y)=2012x=1y=1005x=3y=502x=502y=3x=1005y=1再问：求教第二题再答：x^2+x-2=0,则x

1）两边同时加1得1+x+y+xy=2009,分解得(x+1)(y+1)=2009=7*7*41,由于x、y为正整数,所以x+1=7,y+1=287或x+1=49,y+1=41或x+1=287,y+1

10=1+9=1^2+3^213=4+9=2^2+3^3可见,y=3x=1z=2

利用空间直角坐标系,或用待定系数求解．如2Z=100-x-y带入2式,用直角坐标系求解,即用规划求解

OOOOOOOO相当于8个球,在它们之间的7个空中插入3块板（把它们分成4部分）根据排列组合的知识,x+y+z+t=8正整数解的个数为C(7)(3)=35

这题是典型的排列组合题目吧.如果没错的话,答案应该是20个解.分析：这题可以这样想：相当于把7个一样的XX分成四份,没份至少一个.7个物体中间有6个空,插入三个隔板,就把这堆物体分成四份.答案：20

x1|x2|X3|...|x9|x10想象一下一共100个球一字排开,要从中插下9个挡板,分成10段,每段有球x1,x2,...x9,x10个.100个球,共有(100-1)=99个可以插挡板的地方,