点d e f分别是三角形abc斜边上的高,在ec的延长线上任取一点p

(1)三角形ABM是相似于三角形DEN的,证明如下由三角形ABC~三角形DEF,故角ABC=角DEF又AM,DN分别是三角形ABC和三角形DEF的高,故角AMB=角DNE=90度三角形ABM与三角形D

证明：因为三角形ABC是等边三角形所以AB=AC=BC因为DE平行BCAB平行EF所以四边形ABCE是平行四边形所以AB=CEAE=BC因为AC平行DF所以四边形ADBC和四边形ABFC是平行四边形所

利用等高,求各三角形面积∵D是BC的二等分点∴BD＝CD∴S△ABD＝1/2S△ABC∵E是AD的三等分点∴DE＝2/3AD∴S△BDE＝2/3S△ABD∵F是BE的四等分点∴EF＝3/4BE∴S△D

证明：因为D,E,F分别是三角形ABC三边的中点所以DE.EF分别是三角形ABC的中位线所以DE=1/2ACAD=BD=1/2ABAF=CF=1/2ACEF=1/2AB因为AB=AC所以AD=DE=E

∵△ABC是等边三角形又∵DEF是三边的中点∴DE是三角形的中位线根据中位线定理知DE=1/2AC同理其他两条边也有同样的性质.所以DE=EF=DF

延长ED,过C做AB平行线,交ED延长线于M,△MDC≌△AED,D为EM中点,△EMF为等腰直角三角形,△EBF≌△FCM,S△DEF=（S梯EBCM-2S△EBF）÷2

△DEF各边与△ABC各边都平行,且对应边长的比为1:2,所以△ABC周长=2*10=20

如图.△ABM≌△DEN△CBM≌△DFN∵AB=√(4^2+4^2)=4√2DE=√(4^2+4^2)=4√2AM=√(4^2+1^2)=√19DN=√(4^2+1^2)=√19BM=3,EN=3∴

【⊿ABC∽⊿EFD】证法1：∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点∴DE,DF,EF均是⊿ABC的中位线∴DE=½AC,DF=½BC,EF=½AB即DE/DF/EF

解过A点做BC的垂线交DF于点O交BC与点P.所以三角形ABC的面积为1/2AP×BC=S由于D,E,F是三遍的中点所以DE=1/2AC,DF=1/2BC,EF=1/2AB,AO=1/2AP所以三角形

因为点F是BE的四等分点所以三角形DEF的面积是三角形BED面积的四分之三所以三角形BED面积=30/四分之三=40平方厘米同理三角形ABD面积=40/三分之二=60平方厘米三角形ABC面积=60/二

证明：∵AH⊥BC,E为AC中点∴EH=1/2AC∵D为BC中点.E为AB中点∴DF=1/2AC∴DF=EH同理HF=DE∵FE=FE∴△EFH≌△FED

为锐角三角形,△DEF的三个内角∠AFD=∠DEF,∠BDE=∠DFE,∠CEF=∠EDF.（这是一个性质下面附图）而∠AFD,∠BDE,∠CEF分别是等腰△ADF,等腰△BDE,等腰△CEF的底角,

G,H是E关于AB,BC的对称点,⊿HEG≌⊿ABC（SAS）.  GH＝ACED＋DF＋FE＝GD＋DF＋FH＞GH＝AC

∵D，E，F分别是三角形ABC三边的中点，∴DF，DE，EF是△ABC的中位线．∴三角形DEF的周长=DF+DE+EF=12（AB+BC+AC）=12×20=10（cm）故答案为10．

反证法不妨设∠A∠B∠C中∠A最大,则BC大于其它两边（大边对大角）,所以EC>BD和AF,所以∠CFE在对应的3个角中最大,所以∠C在对应的三个角中最小因为∠A在对应的三个角中最大,所以∠AFD在对

如图∵d,e,f分别是三角形abc各边的中点∴de,ef,df分别为三角形的三条中位线∴df‖bc,de‖ac,ef‖ab∴df=be=ce,de=af=cf,ef=ad=bd∴△ade≌△bdf≌△

如果D.E.F是三角形ABC的二分之一等分点的话那么DEEFDF则是三角形ABC的三条中位线等边三角形的中位线等于底边的一半底边为3中位线为1.5三条均为1.5三角形DEF边长4.5

连接CD、AE∵点A、B、C分别是CF、AD、BE的中点∴S△BCD=S△ABC=3m²S△ACE=S△ABC=3m²∴S△CDE=S△BCD=3m²S△AEF=S△AC