设A^2=E,证明R(A E) R(A-E)=n

知识点:1.AB=0,则r(A)+r(B)

因为A=A^2所以A(A-E)=0\x0d所以r(A)+r(A-E)≤n.\x0d参:\x0d\x0d又n=r(E)=r(A+E-A)≤r(A)+r(E-A)=r(A)+r(A-E)\x0d参:\x0

Only_唯漪的证法我好像没有看懂的样子……果然代数都忘光了,这里给出一种Jordan标准型的证法参考一下：——————————————————————————————————————————∵R(E

这个.（a+e0）（0a-e)作初等变换.接着作下去吧.不好打.

由A^2=A,得A^2-A=0,(A-E)A=0.两n阶矩阵乘积为零矩阵,则两矩阵秩之和不大于n,故由(A-E)A=0得,R(A-E)+R(A)≤n.两矩阵之和的秩不小于两矩阵秩之和,故由(E-A)+

证：R(A+3E)+R(A-E)=R(A+3E)+R(E-A)≥R(A+3E+E-A)=R(4E)=n①A²+2A-3E=0(A+3E)(A-E)=0R(A+3E)+R(A-E)≤n②由①、

（1）A^2=A,所以A(A-E)=0所以r(A)+r(A-E)=r(A+E-A)=r(E)=n所以r(A)+r(A-E)=n再问：R(A)+R(B)>=R(A+B)这怎么得来的？再答：A的所有列向量

A^2=A得到A(A-E)=0由r(A)+r(B)-n

首先你要知道r(A+B)

证明:Ax=0,(A+E)x=0,(A+2E)x=0三个齐次线性方程组的基础解系共含(n-r1)+(n-r2)+(n-r3)=3n-(r1+r2+r3)=n个向量.所以A有n个线性无关的特征向量所以A

说一下思路吧.把A,A+E,A+2E放在一个大矩阵（3n×3n）的对角线上,通过分块矩阵初等变换可以化成diag[E,E,A(A+E)(A+2E)]这一步是难点,楼主不妨尝试一下.初等变换不改变秩,所

书上例题.由A＾2=A得出A的最小多项式只可能是三种情形1）A=0,显然命题成立2）A-E=0,命题也显然成立3）A（A-E）=0,最小多项式没有重根,也就是说没有若当块,换句话说就是特征值0,1的特

证:由已知,A^2=E,(A+E)(A-E)=0所以r(A+E)+r(A-E)

这里边用到两个结论：r(A+B)=r(A+E-A)=r(E)=n.中间等号必须成立,因此r(A)+r(A-E)=n.2、(A+E)(A-E)=0,因此n>=r(A+E)+r(A-E)=r(A+E)+r

证明:因为A是实对称矩阵所以A相似于对角矩阵diag(λ1,λ2,...,λn)其中λi是A的特征值.因为相似矩阵有相同的秩,故r(A)=λ1,λ2,...,λn中非零数的个数.由A是实对称矩阵知A^

（A-2E）(A+E)=0所以r（A+E）小于等于n-r（A-2E）即r（A-2E）+r(A+E)小于等于n又因为r（A-2E）+r(A+E)大于等于r（A-2E,A+E）=r(A-2E,3E)=n所

因为A*A=A,所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程Ax=0的解,由于A-E中的列向量未必构成解空间的基,所以R(A)+R(A-E)小于等于n；又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；立

比较容易证明：因为R是传递关系R^2包含于R,下证R包含于R^2任意元素（x,y）属于R,因为R满足自反关系,所以（y,y）属于R所以（x,y）*（y,y）=（x,y）属于R*R因此R包含于R^2所以

因为A*A=A,所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程Ax=0的解,由于A-E中的列向量未必构成解空间的基,所以R(A)+R(A-E)小于等于n；又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；立