作业帮设A是3阶可逆方阵,|A|=4,则∣∣(3A)−1∣∣=
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/08/24 20:59:48
由A^2=A知道A的特征值只能是1和0若|A+E|=0,则-1是其特征值,这不可能所以|A+E|≠0,即可逆
∵A2+AB+B2=0，∴A（A+B）=-B2，而B可逆，故：|-B2|=（-1）n|B|2≠0，∴|A（A+B）|=|-B2|≠0，∴A，A+B都可逆，证毕．
(A+E)的平方=OA²+2A+E=OA(A+2E)=-EA(-A-2E)=E所以有定义可知A可逆.
由（A+E)^2=0得A^2+2A+E=0A(-A-2E)=E所以A可逆且逆矩阵为-A-2E
反证法若A是可逆矩阵,则A×A逆=EA=A×A×A逆=A×A逆=E矛盾
(A+E)^3=A^3+3A^2+3A+E=0A(A^2+3A+3E)=-E所以A可逆,A^-1=-(A^2+3A+3E)
(A-3E)(A-2E)=5E,所以A-3E的逆是（A-2E）/5.
由已知,A^2-3A=0所以A(A-4E)+(A-4E)+4E=0所以(A+E)(A-4E)=-4E所以A-4E可逆,且(A-4E)^-1=-1/4(A+E).
有个重要关系式：AA*=det(A)E,A*是A的伴随阵.取行列式得det(A)det(A*)=det(A)^ndet(E)=det(A)^n,由于det(A)不等于0,因此有det(A*)=(det
将A^2+2A-4E=0变化为A^2+2A-3E=E,即（A+3E)*(A-E)=E,因为(A-E)可逆,所以A+3E的逆方阵为(A-E)^-1
（A+E）^2=0A²+2A+E=0A(A+2E)=-E两边取行列式,得|A|*|A+2E|≠0所以|A|≠0即A可逆.
A为可逆阵,则它为满秩.因为A为3阶.所以R(A)=3;
A(A-3I)=-I不等于0|A||A-3I|=-1|A|不等于0A可逆
假设A+E不可逆,则|A+E|=0所以-1是A的一个特征值设ξ是属于-1的一个特征向量则A^2ξ=A(-ξ)=-Aξ=ξ但A^2=A所以A^2ξ=Aξ=-ξ矛盾
（A－E)A=A^2－A＝3E,因此(A－E)A/3=E,A－E可逆,其逆为A/3.
从A^2-3A-10E中分解出A-4E,A^2-3A-10E=(A-4E)(A+E)-6E=0,即(A-4E)(A+E)=6E,亦即(A-4E)(A+E)/6=E,由矩阵逆的定义可知A-4E可逆,且其
请看图片\x0d
由A*A+3A-I=0得A*A+3A-4I=-3I得(A-I)(A+4I)=-3I得(A-I)[-(A+4I)/3]=I所以A－I可逆,逆矩阵为－（A+4I）/3
由A^2-A-7E=0得：A（A-1)=7E故A（A-1)的行列式为7而不为0,假如A是不可逆矩阵,则A的行列式为0那么A（A-1)的行列式就为0矛盾,所以A可逆又原式可变为（A+2E）（A-3E)=
因为A+2E,A-E,2A-E均不可逆所以A的特征值为：-2,1,1/2所以A²的特征值为：4,1,1/4A²+E的特征值为：5,2,5/4所以|A²+E|=5×2×(5