作业帮设方阵A^2-3A 2E=0试证明其特征值为1和2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/04 17:35:08
哎哟妈也线性代数.还是证明题,最受不了这个了.再问：呵呵呵呵呵呵......
由（A+E)^2=0得A^2+2A+E=0A(-A-2E)=E所以A可逆且逆矩阵为-A-2E
移项得A²+3A=2E或A²+3AE=2E由矩阵乘法的右分配律得(1/2)A(A+3E)=E∴(A+3E)可逆且A+3E的逆矩阵为(1/2)A
因为A*=|A|A^(-1)=(1/2)A^(-1)所以|(2A)^(-1)-5A*|=|(1/2)A^(-1)-(5/2)A^(-1)|=|(-2)A^(-1)|=(-2)^3|A^(-1)|=-8
(A-3E)(A-2E)=5E,所以A-3E的逆是（A-2E）/5.
将A^2+2A-4E=0变化为A^2+2A-3E=E,即（A+3E)*(A-E)=E,因为(A-E)可逆,所以A+3E的逆方阵为(A-E)^-1
∵(A+2I)·(A+2I)=A²+4A+4I=I∴A+2I可逆,且其逆为自身A+2I
A(A-3I)=-I不等于0|A||A-3I|=-1|A|不等于0A可逆
证明：∵A^2-2A+3E=0∴A^2-3A+A-3E+6E=0A(A-3E)+(A-3E)=-6E(A-3E)(A+E)=-6E∴|(A-3E)(A+E)|=|A-3E||A+E|=|-6E|≠0∴
首先由|A+3E|=0知-3是A的一个特征值（a是A的特征值当且仅当|A-aE|=0）,所以A^(-1)有特征值1/(-3)=-1/3；由AA^T=2E知|AA^T|=2,所以|A||A^T|=|A|
由A是4阶方阵,且AAT=2E,得|A|^2=|AAT|=|2E|=2^4=16.又由|A|
因为A^3-A^2+2A-E=0所以A(A^2-A+2E)=E.所以A可逆,其逆为A^2-A+2E.再由A^3-A^2+2A-E=0得(A-E)(-A^2-2E)=E所以A-E可逆,且其逆为-A^2-
（A－E)A=A^2－A＝3E,因此(A－E)A/3=E,A－E可逆,其逆为A/3.
A^2-3A+2E=(A-E)(A-2E)=4E, 由逆矩阵的定义有：A-E=1/4(A-2E)
从A^2-3A-10E中分解出A-4E,A^2-3A-10E=(A-4E)(A+E)-6E=0,即(A-4E)(A+E)=6E,亦即(A-4E)(A+E)/6=E,由矩阵逆的定义可知A-4E可逆,且其
A的特征值为1,2,3,那么4E-A的特征值为3,2,1,所以|4E-A|=3*2*1=6
因为r（A）=3-1,所以r（A*）=1,从而存在非零列向量a、b使得A*=ab^T则（A*）^3=（ab）^T=（b^Ta）（ab^T）^2=0所以b^Ta=0或（ab^T）^2=（A*）^2=0若
例如A=(01)(00)则A≠0且A^2=0
A^3-ABA=-2E,|A^3-ABA|=|-2E|,|A||A-B||A|=-8|A-B|=-2