阶矩阵不可逆的充分必要条件是有一个特征值为0.-搜答案-智慧作业帮

这题目主要是清楚什么是行等价同济第4版P.59是这么定义的:如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B,则称矩阵A与B行等价.(=>)必要性因为矩阵A与B行等价所以A经有限次初等行变换变成矩阵B所以存在有

答案不对.因为A^2+aA+bE=0所以A(A+aE)=-bE当b≠0时,A可逆,且A^-1=-1/b(A+aE)..当b=0时,A(A+aE)=0,A的特征值只能是0,-a而A可逆的充要条件是A的特

有个定理证明:因为A的行列式等于它的所有特征值的乘积所以A可逆|A|≠0A的特征值都不等于0

充分性:由特征多项式为|λE-A|,-i不是根即有|-iE-A|≠0,从而|A+iE|≠0,即有A+iE可逆.必要性:A+iE可逆故|A+iE|≠0,从而|-iE-A|≠0,即-i不是特征多项式|λE

C

提示：可逆矩阵可以看成若干初等矩阵的乘积.用等价矩阵秩相等去证.

A正定,则存在正交阵Q和对角元全是正数的对角阵D,使得A=Q^TDQ,记C是对角元是D的对角元的平方根的对角阵,即D＝C^2=C^TC,于是A=Q^TC^TCQ,P=CQ是可逆阵.反之,A=P^TP,

Ax=b有唯一解r(A)=nA可逆

知识点:n阶矩阵A的行列式等于其所有特征值的乘积.所以A可逆|A|≠0A的特征值都不等于0.

设f(x)=(x-b_1)(x-b_2).(x-b_n)即b_1,b_2,...,b_n是B特征根.则f（A）=（A-b_1E).....(A-b_nE)det(f(A))=det（A-b_1E）..

矩阵相抵就是矩阵等价

A矩阵不可逆|A|=0A的列(行)向量组线性相关R(A)

n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量![证明]充分性：已知A具有n个线性无关的特征向量X1,X2,……,则AXi=入iXii=1,2,……,nA[X1X2……Xn]=[入1X1

两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数.首先合同是等价关系.可以传递.每个实对称矩阵都可以通过正交矩阵相似于（由特征值构成的）对角矩阵,因为正交矩阵的特点,那么他也合同与由对特征值构成的

证明:如果A对称,则A-A'=0对称.如果A-A'对称,又A+A‘对称.所以A=1/2(A-A’)+1/2(A+A’)对称.

证明：Ax=b有唯一解,那么r(A,b)=r(A)=n,而A为n阶矩阵,所以r(A)=n可以得到A可逆同理,n阶矩阵A可逆,那么r(A)=n,而增广矩阵r(A,b)显然此时等于r(A),所以r(A,b

证明：如果A对称,则A-A'=0对称.如果A-A'对称,又A+A‘对称.所以A＝1／2（A-A’）＋1／2（A＋A’）对称.

对选项（A）和（B）：举反例A＝1212，任一行列向量都是非零向量，但A不可逆；故排除选项A和B．对选项（C）：举反例，如A为n阶方阵，.A为增广矩阵，当：r(A)＝r(.A)＜n时，Ax=b有无穷多

因为|ABC|=|A||B||C|所以|ABC|≠0的充分必要条件是|A|,|B|,|C|都不等于0故ABC可逆的充分必要条件是A,B,C都可逆.