大一定积分问题设y=f(x)在x≥0时为连续的非负函数,且f(0)=0,V(t)表示y=f(x),x=t(>0)及x轴所
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/17 01:23:34
大一定积分问题
设y=f(x)在x≥0时为连续的非负函数,且f(0)=0,V(t)表示y=f(x),x=t(>0)及x轴所围成图形绕直线 x=t旋转一周所成旋转体体积,证明V''(t)=2πf(t)
设平面图形D由x^2+y^2≤2x与y≥x所确定,求D绕直线x=2旋转而成的立体体积V
设y=f(x)在x≥0时为连续的非负函数,且f(0)=0,V(t)表示y=f(x),x=t(>0)及x轴所围成图形绕直线 x=t旋转一周所成旋转体体积,证明V''(t)=2πf(t)
设平面图形D由x^2+y^2≤2x与y≥x所确定,求D绕直线x=2旋转而成的立体体积V
1.设y=f(x)在x≥0时为连续的非负函数,且f(0)=0,V(t)表示y=f(x),x=t(>0)及x轴所围成图形绕直线 x=t旋转一周所成旋转体体积,证明V''(t)=2πf(t).
证明:在此旋转体上取一半径为(t-x),厚度为dy的薄园片,此薄圆片的微体积dv=π(t-x)²dy;
故其体积V(t)=【0,f(t)】∫π(t-x)²dy;其中dy=f '(x)dx;y=0时x=0;y=f(t)时x=t;故得:
V(t)=【0,f(t)】∫π(t-x)²dy=【0,t】π∫(t-x)²f '(x)dx
V'(t)=dV/dt=【0,t】π∫2(t-x)f '(x)dx
∴V ''(t)=d²V/dt²=【0,t】π∫2f '(x)dx=【0,t】2π∫df(x)=2π[f(t)-f(0)]=2πf(t).
2.设平面图形D由x²+y²≤2x与y≥x所确定,求D绕直线x=2旋转而成的立体体积V.
由x²+y²=2x,得y²=-x²+2x=-(x²-2x)=-[(x-1)²-1]=-(x-1)²+1;(x-1)²=1-y²;x=1±√(1-y²);
此处应取x=1-√(1-y²);【根号前为什么要取负号?比如,当y=1/2时,x=1-(√3/2)=0.134
证明:在此旋转体上取一半径为(t-x),厚度为dy的薄园片,此薄圆片的微体积dv=π(t-x)²dy;
故其体积V(t)=【0,f(t)】∫π(t-x)²dy;其中dy=f '(x)dx;y=0时x=0;y=f(t)时x=t;故得:
V(t)=【0,f(t)】∫π(t-x)²dy=【0,t】π∫(t-x)²f '(x)dx
V'(t)=dV/dt=【0,t】π∫2(t-x)f '(x)dx
∴V ''(t)=d²V/dt²=【0,t】π∫2f '(x)dx=【0,t】2π∫df(x)=2π[f(t)-f(0)]=2πf(t).
2.设平面图形D由x²+y²≤2x与y≥x所确定,求D绕直线x=2旋转而成的立体体积V.
由x²+y²=2x,得y²=-x²+2x=-(x²-2x)=-[(x-1)²-1]=-(x-1)²+1;(x-1)²=1-y²;x=1±√(1-y²);
此处应取x=1-√(1-y²);【根号前为什么要取负号?比如,当y=1/2时,x=1-(√3/2)=0.134
大一定积分问题设y=f(x)在x≥0时为连续的非负函数,且f(0)=0,V(t)表示y=f(x),x=t(>0)及x轴所
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