作业帮同余方程组中模与模之间不互质时,解共有多少组?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/18 19:08:17
同余方程组中模与模之间不互质时,解共有多少组?
存在无解的情况.如
x=3 mod 12
x=2 mod 18
对于少量的几个模,可以取它们的公约数取代原有的模,看它们是否有矛盾.上面的例子是有矛盾的,即x=3 mod 6与x=2 mod 6矛盾,从而无解.
对于大量的模,可以先确立一组两两互质的分解基数集,比如质数集,将这些模用分解基数表示成为多个因数项,将其中相关于同一个分解基数的项进行归并.如果有矛盾,则无解.
否则有解.
例：同余式组
x=2 mod 16
x=3 mod 5
x=6 mod 12
取4,3,5作为分解基.变成
x=2 mod 4^2
x=3 mod 5
x=6 mod 4
x=6 mod 3
其中相关于同一个分解基数的情况,仅有x=2 mod 16与x=6 mod 4是相关于分解基数"4"的,它们没有矛盾.取两相容解集的交集,即其中解集较小的那个：x=2 mod 16.
再与x=3 mod 5及x=6==0 mod 3联立求解.
另例：
x=2 mod 18
x=8 mod 12
以3,2为分解基.
相关于分解基数3的转化式有x=2 mod 3^2,x=2 mod 3,取前者.
相关于分解基数2的转化式有x=0 mod 2,x=0 mod 4,取后者.
如果是形如
ax=b mod m形状的同余式联立的,
则可能出现无解、一解、多解的情况.一个基本的例子如下：
12x=18 mod 27 注：相当于12x=9+18k
自然就等价于同余式
4x=3 mod 9
解得x=3 mod 9,转化为模27的同余式,为
x=3,12,21 mod 27
x=3 mod 12
x=2 mod 18
对于少量的几个模,可以取它们的公约数取代原有的模,看它们是否有矛盾.上面的例子是有矛盾的,即x=3 mod 6与x=2 mod 6矛盾,从而无解.
对于大量的模,可以先确立一组两两互质的分解基数集,比如质数集,将这些模用分解基数表示成为多个因数项,将其中相关于同一个分解基数的项进行归并.如果有矛盾,则无解.
否则有解.
例：同余式组
x=2 mod 16
x=3 mod 5
x=6 mod 12
取4,3,5作为分解基.变成
x=2 mod 4^2
x=3 mod 5
x=6 mod 4
x=6 mod 3
其中相关于同一个分解基数的情况,仅有x=2 mod 16与x=6 mod 4是相关于分解基数"4"的,它们没有矛盾.取两相容解集的交集,即其中解集较小的那个：x=2 mod 16.
再与x=3 mod 5及x=6==0 mod 3联立求解.
另例：
x=2 mod 18
x=8 mod 12
以3,2为分解基.
相关于分解基数3的转化式有x=2 mod 3^2,x=2 mod 3,取前者.
相关于分解基数2的转化式有x=0 mod 2,x=0 mod 4,取后者.
如果是形如
ax=b mod m形状的同余式联立的,
则可能出现无解、一解、多解的情况.一个基本的例子如下：
12x=18 mod 27 注：相当于12x=9+18k
自然就等价于同余式
4x=3 mod 9
解得x=3 mod 9,转化为模27的同余式,为
x=3,12,21 mod 27
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