作业帮讨论分段函数y(x)在x=0处的连续性和可导性
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/07 18:10:10
讨论分段函数y(x)在x=0处的连续性和可导性
y(x)=x^2*sin(1/x) x＞0
0 x=0
x^2*cos(1/x) x＜0 在x=0处的连续性和可导性
连续性：左极限lim（x趋于0正）=x^2*sin(1/x)和右极限lim(x趋于0负)x^2*cos(1/x),这两个极限到底存不存在?
可导性：f'+(0)=lim(x趋于0正)[f(x)-f(0)]/x=lim(x趋于0正)x*sin(1/x)和f'-(0)=lim(x趋于0负)[f(x)-f(0)]/x=lim(x趋于0正)x*cos(1/x),这两个极限存不存在?
或者还是求完整地解答过程吧
y(x)=x^2*sin(1/x) x＞0
0 x=0
x^2*cos(1/x) x＜0 在x=0处的连续性和可导性
连续性：左极限lim（x趋于0正）=x^2*sin(1/x)和右极限lim(x趋于0负)x^2*cos(1/x),这两个极限到底存不存在?
可导性：f'+(0)=lim(x趋于0正)[f(x)-f(0)]/x=lim(x趋于0正)x*sin(1/x)和f'-(0)=lim(x趋于0负)[f(x)-f(0)]/x=lim(x趋于0正)x*cos(1/x),这两个极限存不存在?
或者还是求完整地解答过程吧
无穷小和有界函数相乘结果是无穷小
sin(1/x)和cos(1/x)均为有界函数
故lim(x→0)x^2*sin(1/x)=lim(x→0)x^2*cos(1/x)=lim(x→0)x*sin(1/x)=lim(x→0)x*cos(1/x)=0
故在x=0处连续、可导
PS:左为从数轴左边趋近,应趋近（0-）,右为从数轴右边趋近,应趋近（0+）.
sin(1/x)和cos(1/x)均为有界函数
故lim(x→0)x^2*sin(1/x)=lim(x→0)x^2*cos(1/x)=lim(x→0)x*sin(1/x)=lim(x→0)x*cos(1/x)=0
故在x=0处连续、可导
PS:左为从数轴左边趋近,应趋近（0-）,右为从数轴右边趋近,应趋近（0+）.