作业帮问一个有关概率和期望值的问题,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/09 10:16:42
问一个有关概率和期望值的问题,
假设有n张卡片,每张卡片上对应有1到n中的一个数字.随机洗牌后,一次抽一张卡片.若抽出的卡片上的数字是目前所有抽出卡片中最大的,将之放在右手边；反之则放左手边,直至全部抽完.
求：抽完后右手边卡片数量的期望值.
请附上公式和说明,
假设有n张卡片,每张卡片上对应有1到n中的一个数字.随机洗牌后,一次抽一张卡片.若抽出的卡片上的数字是目前所有抽出卡片中最大的,将之放在右手边；反之则放左手边,直至全部抽完.
求：抽完后右手边卡片数量的期望值.
请附上公式和说明,
这个答案是log(n),以e为底数.
我们设置n个随机变量：X1、X2、……、Xn
其中,Xi 表示：
若 Xi=1,则：第i个抽出的卡片是前i个中最大的,也就是第i个卡片将放在右手边.
否则 Xi=0.
令随机变量Y为最终右手边卡片的数量,则：
Y = X1+X2+...+Xn
E(Y) = E(X1) + E(X2) + ...+ E(Xn)
下面我们证：E(Xi) = 1/i
n个卡片随机排列,一共有n!种,我们求第i个是前i个中最大的.
把这n!种分类,按照前i个卡片所组成的集合.
也就是假设我们已知前i个是什么卡片,但不知次序,考虑第i个最大的比例.
当已知前i个是什么卡片,但不知次序时,总共有：i!(n-i)!种.
第i个是前i个里最大的,那么第i个也就确定了,剩下n-1 个不确定,一共有：(i-1)!(n-i)!种.
所以,比例是：[(i-1)!(n-i)!] / [i!(n-i)!] = 1/i
这个比例与我们的分类,也就是前i个具体是什么无关,所以每个分类都是 1/i.
所以,最后这个 Xi=1 的概率就是 1/i,你可以按我们的分类用一下全概率公式.
所以,E(Xi) = 1×(1/i) + 0×(1-1/i) = 1/i
所以,E(Y) = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/n
这是调和序列,当n趋于无穷大时,逼近 log(n),以e为底数.
我们设置n个随机变量：X1、X2、……、Xn
其中,Xi 表示：
若 Xi=1,则：第i个抽出的卡片是前i个中最大的,也就是第i个卡片将放在右手边.
否则 Xi=0.
令随机变量Y为最终右手边卡片的数量,则：
Y = X1+X2+...+Xn
E(Y) = E(X1) + E(X2) + ...+ E(Xn)
下面我们证：E(Xi) = 1/i
n个卡片随机排列,一共有n!种,我们求第i个是前i个中最大的.
把这n!种分类,按照前i个卡片所组成的集合.
也就是假设我们已知前i个是什么卡片,但不知次序,考虑第i个最大的比例.
当已知前i个是什么卡片,但不知次序时,总共有：i!(n-i)!种.
第i个是前i个里最大的,那么第i个也就确定了,剩下n-1 个不确定,一共有：(i-1)!(n-i)!种.
所以,比例是：[(i-1)!(n-i)!] / [i!(n-i)!] = 1/i
这个比例与我们的分类,也就是前i个具体是什么无关,所以每个分类都是 1/i.
所以,最后这个 Xi=1 的概率就是 1/i,你可以按我们的分类用一下全概率公式.
所以,E(Xi) = 1×(1/i) + 0×(1-1/i) = 1/i
所以,E(Y) = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...+ 1/n
这是调和序列,当n趋于无穷大时,逼近 log(n),以e为底数.