设E为n级单位矩阵,a,b为给定的n维列向量并有a’b>0,证明H=E-(bb')/(b'b)+(aa')/(a'b)是

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/16 21:36:59

设E为n级单位矩阵,a,b为给定的n维列向量并有a’b>0,证明H=E-(bb')/(b'b)+(aa')/(a'b)是正定矩阵.我做了两天都是如果b有任意性H是正定的,否则整不出来.

设 e1 =b/|b|, 可以有单位正交基： e1,e2,.,en.
在这组基下, 向量b的坐标为 (b1,0,...,0)', 向量a的坐标为(a1,.,an)', 其中 a1*b1 = a‘b >0.
H 所对应的线性变换在基{e1,e2,...,en}下, 成为：
E - (bb')/b1^2+(aa')/(a1*b1)
任给列向量 x, 设其在基{e1,e2,...,en}下坐标为 (x1,...xn)'
则
x'(E - (bb')/b1^2+(aa')/(a1*b1) )x
=x'Ex - x' (bb')/b1^2 x + x' (aa')/(a1*b1) x
=(x1^2+...+xn^2) - x1^2 + 1/(a1b1) * (x'a)*(a'x)
= x2^2 + ...+ xn^2 + 1/(a1b1) * (a1x1 + ...+anxn)^2
>= 0
而如果其= 0, 则有：
x2^2 + ...+ xn^2 = 0 =====》 x2=...=xn=0
a1x1 + ...+anxn=0 ====> x1=0
即：如果 |x|>0 则 x'(E - (bb')/b1^2+(aa')/(a1*b1) )x >0
所以H 所对应的线性变换是正定变换,于是 H必为正定矩阵.

设E为n级单位矩阵,a,b为给定的n维列向量并有a’b>0,证明H=E-(bb')/(b'b)+(aa')/(a'b)是设方阵 A=E-2aaT,其中 E 为 n 阶单位矩阵,a 为 n 维单位列向量,证明：任意n维向量B都有//AB//= 设A,B为N阶矩阵,满足2(B^-1)A=A-4E,E为N阶单位矩阵,证明：B-2E为可逆矩阵,并求它的逆矩阵设a,b是n维列向量,且a'b不等于-1,证明：E+a(b')可逆,并求其逆矩阵设A为n阶矩阵,b为n维列向量,证明Ax=b有唯一解的充分必要条件是A可逆设A是a x m矩阵,B是m x n矩阵,n小于m,E是n介单位阵,若AB=E,证明B的列向量组线性无关. 高数现代矩阵题A=E-2a*aT,E是m阶单位矩阵,a是n维单位列向量,证明任意一个n维列向量B,都有||AB||=|| 设A,B均为n阶方阵,E为单位矩阵,证明：若E-AB可逆,则E-BA也可逆,并求E-BA的逆设A为n阶正交矩阵；a,b为两个n维的向量,求证1.（Aa,Ab）=(a,b) 2.||Aa||=||A|| 设A为m*n实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知B=λE+（A的转置乘以A）.证明,当λ大于0时,B为正定矩阵. 设A,B为n阶方阵,E为n阶单位矩阵,证明：若A+B=AB,则A-E可逆. 设A,B为两个n维列向量,(A^T)B不等于0,矩阵C=A(B^T),