1.已知a,b,c∈R.若bc/a²>1,b/a+c/a≥-2,试判断a,b,c的符号并说明理由.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 20:41:08
1.已知a,b,c∈R.若bc/a²>1,b/a+c/a≥-2,试判断a,b,c的符号并说明理由.
2.设函数f(x)=x²+2bx+c(c<b<1),f(1)=0,且方程f(x)+1=0有实根
⑴证明:-3<c≤-1,b≥0;
⑵若m是方程f(x)+1=0的一个实根,试判断f(m-4)的正负并加以证明.
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2.设函数f(x)=x²+2bx+c(c<b<1),f(1)=0,且方程f(x)+1=0有实根
⑴证明:-3<c≤-1,b≥0;
⑵若m是方程f(x)+1=0的一个实根,试判断f(m-4)的正负并加以证明.
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1.因为bc/a²>1
所以bc>a²≥0①
所以b和c同正或者同负
①b c同正
则b+c≥2√bc
又因为b/a+c/a≥-2
b/a+c/a=(b+c)/a
若a>0 则(b+c)/a≥2√bc/a②
由①bc>a² 所以√bc>a
所以(b+c)/a≥2√bc/a=2>-2
成立
若a<0 则(b+c)/a≤2√bc/a≥-2a/a=-2
即(b+c)/a≤-2 与题设b/a+c/a≥-2矛盾
所以不成立
所以当b c均为正数 a大于0
所以a>0 b>0 c>0
② 若b 和 c都为负数
则b+c≤-2√bc
若a>0
则(b +c)/a≤-2√bc/a≤-2
与题设b/a+c/a≥-2矛盾矛盾 所以不成立
若a<0
则(b +c)/a≥-2√bc/a≥-2
成立
所以当b c均为负数 a<0
所以a<0 b<0 c<0
所以综上所述
a b c符号为 + + +或者- - -
2.1)证明:由f(1)=1²+2b+c=1+2b+c=0,解得b=-(1+c)/2
再由c<b<1,得c<-(1+c)/2<1,解得-3<c<-1/3
又方程f(x)+1=0有实根,即x²+2bx+c+1=0有实根,
故Δ=4b²-4(c+1)≥0,即(c+1)²-4(c+1)≥0
解得c≥3或c≤-1,故-3<c≤-1,
再由b=-(1+c)/2,得0≤b<1
(2)f(m-4)>0
证明:由已知得f(m)=-1<0,
∴c<m<1,即c-4<m-4<-3<c
即x=m-4在开口向上的抛物线f(x)与x轴左交点的左边,
故f(m-4)>0
所以bc>a²≥0①
所以b和c同正或者同负
①b c同正
则b+c≥2√bc
又因为b/a+c/a≥-2
b/a+c/a=(b+c)/a
若a>0 则(b+c)/a≥2√bc/a②
由①bc>a² 所以√bc>a
所以(b+c)/a≥2√bc/a=2>-2
成立
若a<0 则(b+c)/a≤2√bc/a≥-2a/a=-2
即(b+c)/a≤-2 与题设b/a+c/a≥-2矛盾
所以不成立
所以当b c均为正数 a大于0
所以a>0 b>0 c>0
② 若b 和 c都为负数
则b+c≤-2√bc
若a>0
则(b +c)/a≤-2√bc/a≤-2
与题设b/a+c/a≥-2矛盾矛盾 所以不成立
若a<0
则(b +c)/a≥-2√bc/a≥-2
成立
所以当b c均为负数 a<0
所以a<0 b<0 c<0
所以综上所述
a b c符号为 + + +或者- - -
2.1)证明:由f(1)=1²+2b+c=1+2b+c=0,解得b=-(1+c)/2
再由c<b<1,得c<-(1+c)/2<1,解得-3<c<-1/3
又方程f(x)+1=0有实根,即x²+2bx+c+1=0有实根,
故Δ=4b²-4(c+1)≥0,即(c+1)²-4(c+1)≥0
解得c≥3或c≤-1,故-3<c≤-1,
再由b=-(1+c)/2,得0≤b<1
(2)f(m-4)>0
证明:由已知得f(m)=-1<0,
∴c<m<1,即c-4<m-4<-3<c
即x=m-4在开口向上的抛物线f(x)与x轴左交点的左边,
故f(m-4)>0
1.已知a,b,c∈R.若bc/a²>1,b/a+c/a≥-2,试判断a,b,c的符号并说明理由.
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