如图：在△ABC中，∠A=α，△ABC的内角或外角平分线交于点P，且∠P=β，试探求图1，2，3中α与β的关系，并选择你

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 00:31:04

如图：在△ABC中，∠A=α，△ABC的内角或外角平分线交于点P，且∠P=β，试探求图1，2，3中α与β的关系，并选择你认为最有把握又最喜欢的一个加以说明．

（1）β=90°+
1
2α；（2）β=
1
2α；（3）β=90°-
1
2α．
下面选择（1）进行证明．
在图（1）中，根据三角形内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
∵BP与CP是△ABC的角平分线，

∴∠PBC=
1
2∠ABC，∠PCB=
1
2∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=
1
2（∠ABC+∠ACB）=90°-
1
2α．
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PCB）=180°-（90°-
1
2α）=90°+
1
2α．
∴β=90°+
1
2α．图（2），结论：∠BPC=
1
2∠A．
证明如下：
∠P=∠1-∠2=
1
2（∠ACD-∠ABC）=
1
2∠A．

∴β=
1
2α；
（3）∵BP、CP分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠CBP=
1
2（∠A+∠ACB），∠BCP=
1
2（∠A+∠ABC），
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-
1
2（∠ABC+∠ACB），
∴∠P与∠A的关系是：∠P=180°-∠A-
1
2（∠ABC+∠ACB）=90°-
1
2α，
即β=90°-
1
2α．