（线性代数）实对称矩阵特征值不同的特征向量相互正交

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 20:53:42

请问怎么由X1-X2+X3=0
得出两个特征向量（1,0,-1）和（0,1,0）的呢?
向量（1,1,0）和（0,1,1）也满足方程,是不是也是特征向量呢?

这个解答中有些小错误.
要求的特征向量一定与(1,-1,1)T正交,所以是X1-X2+X3=0的解.
这个方程的基础解系一般可以用X2,X3分别取1,0或0,1代入解出X1得到,也就是(1,1,0)和(-1,01).
它们若乘非零的倍数也可以做为基础解系.
题目中(0,1,0)T应当改为(1,1,0)T,否则不满足方程.
满足方程的所有非零解向量都是特征向量,而且只要是两个线性无关的解向量就可以做为基础解系.
所以（1,1,0）T和（0,1,1）T也满足方程,也是特征向量.而且有a2=k1(1,1,0)T+k2(0,1,1)T .
再问： “这个方程的基础解系一般可以用X2,X3分别取1,0或0,1代入解出X1得到” 为什么是X2,X3作为自由变量呢？这是我最困惑的地方
再答：不一定非要用X2,X3作为自由变量，用X1，X2也可以，用X1,X3也可以。用X2,X3只是一种约定的习惯。自由变量的个数是：总数-系数矩阵的秩
再问：我同学一直非要说只能让X2,X3作为自由变量~ 可是自由变量不同的话，对于基础解系（1，1，0），（-1,0,1）以X2,X3作为自由变量和（0,1，1），（-1,0,1）以X1,X2为自由变量计算出来的矩阵B是不同的吧？也就是说本题的答案不唯一吗？
再答：选用不同自由变量来计算，最后算出的矩阵B相同的。尽管用几个特征向量拼成的矩阵P发生了变化，但求B时还要用到P逆矩阵，它也跟着变了。最终的B是不变的。

（线性代数）实对称矩阵特征值不同的特征向量相互正交实对称矩阵相同特征值的特征向量相互正交吗? 证明实对称矩阵不同特征值的特征向量必定正交实对称矩阵不同特征值特征向量相互正交,X1+X2-2X3=0 线性代数:实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的.证明中有一步：线性代数：对应不同特征值的特征向量正交的矩阵满足什么条件?实对称阵还是什么? 线性代数证明：实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量a1,a2必正交实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的,那反之呢? 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量除了正交外还有其他的关系吗? 是不是只有实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交的. 怎么证明实对称矩阵不同特征值的特征向量互相正交线性代数实对称矩阵特征向量正交