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如图,在△ABC中,∠A=90°,D是AC上的一点,BD=DC,P是BC上的任一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F为垂足

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/03 07:29:51
如图,在△ABC中,∠A=90°,D是AC上的一点,BD=DC,P是BC上的任一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F为垂足.求证:PE+PF=AB.
证明:过P作PG⊥AB于G,交BD于O,
∵PF⊥AC,∠A=90°,
∴∠A=∠AGP=∠PFA=90°,
∴四边形AGPF是矩形,
∴AG=PF,PG∥AC,
∵BD=DC,
∴∠C=∠GPB=∠DBP,
∴OB=OP,
∵PG⊥AB,PE⊥BD,
∴∠BGO=∠PEO=90°,
在△BGO和△PEO中

∠BGO=∠PEO
∠GOB=∠EOP
OB=OP
∴△BGO≌△PEO,
∴PE=BG,
∵AB=BG+AG,
∴PE+PF=AB.