能不能具体说明下如何证明某个函数在某（开闭）区间内连续和可导?在某个点的连续和可导我已经知道了!

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/06 05:36:18

能不能具体说明下如何证明某个函数在某（开闭）区间内连续和可导?在某个点的连续和可导我已经知道了!
搜了很多答案感觉都只是说在某个点上的,或者没说清楚!
像下面这个题目！第一步的时候是怎么知道在实数轴这个区间里可导、连续的？
不用求出函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的导数，说明方程 f (x)=0 有几个实根，并指出它们所在的区间。
由于函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) 在整个实数轴上连续、可导，并且 f(1)= f(2)=f(3)=f(4)= f(5)=0，分别在区间 (1,2),(2,3),(3,4),(4,5) 内应用罗尔定理，可得方程 f (x)=0 至少有4个实根，但由于f (x)是一个4次多项式，至多有4个实根，因此，方程 f (x)=0 只有4个实根，并且分别位于区间 (1,2),(2,3),(3,4),(4,5)

这是多项式函数,多项式函数在R上都是连续可导的,你要证明起来很快,但这是常识.你要是能够证明在任何一点都连续且可导,那根据区间连续可导的定义,在整个区间上就连续可导了啊,怎么会觉得不清楚呢.
所有初等函数：多项式、指数、对数、三角和反三角都是在各自的定义域上连续和可导的,它们的复合函数一般也是连续且可导的,除非定义某些没意义的点为其他什么数值,人为造成不连续或不可导,比如定义
f(x) = sin(x)/x 在原点数值为2,就原点不连续了,但是在非原点的地方,由于是初等函数的复合函数,连续和可导是没任何问题的.
证明在区间内可导,只需要证明在区间内每个点可导即可.如果是对闭区间的话,对左端点,证明右导数存在,对右端点,证明左导数存在即可.
再问：所以说，如果碰到一些需要先说明可导、连续的题目一般都是初等函数或者其复合或四则运算的函数咯？直接说明他们在区间内可导或连续就可以了吧？我就觉得奇怪，如果某个题目要求你说明某个函数在某个区间连续或可导，那不是要去计算区间内每一个点了！
再答：恩，是否初等函数的话你自己判断吧，高数的题一般都是，不用自己去证明可导，说一句即可。当然碰到我上面说的 sin(x)/x 这种情况要慎重。

能不能具体说明下如何证明某个函数在某（开闭）区间内连续和可导?在某个点的连续和可导我已经知道了! 如何证明一个函数在某个区间内连续怎么样证明一个函数在这个区间内连续和可导? 能不能举个例子在某个函数的分界点处左右导数可导且相等,但函数在该分界点处不连续函数在某开区间内连续、可导如何证明函数的连续和可导如何证明函数在一个点连续不连续可导不可导函数在闭区间连续开区间可导,能说明其导数连续吗如果函数在区间内连续且可导,那么它的导数在区间是连续的吗?为什么? 怎么证明函数在某点上可微我会证明连续和可导怎么证可微呢证明函数的连续性是不是只要证明（在开闭区间内）在两个端点的连续性,就可以确定函数在区间内连续? 如何判断函数在一点是否连续和可导?