设f(x)是定义在(0,正无穷大)上的非常函数

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/07 17:00:26

设f(x)是定义在(0,正无穷大)上的非常函数
对于任意的x>0,y>0,恒有f(xy)=f(x)f(y),成立,且当x>1时,恒有f(x)1
求证：图像恒在第一象限,且过定点（1,1）

对于任意的x>0,y>0,恒有f(xy)=f(x)f(y)成立
取x=y=1,
则f(1)=f(1*1)=f(1)*f(1)
∴f(1)=[f(1)]²
∴f(1)[f(1)-1]=0
∴f(1)=0或f（1)-1=0
若f(1)=0
那么x>1时,f(x)=f(x*1)=f(x)*f(1)=0
与x>1时,恒有f(x)1矛盾
∴f(1)≠0
∴只有f(1)-1=0,f(1)=1
即图像恒过定点（1,1）
设t>0时,取x=√t,y=√t
∴f(t)=f(√t*√t)=[f(√t)]²≥0
若f(t)=0,f（1)=f(t*1/t)=f(t)*f(1/t)=0矛盾
∴t>0时,f(t)>0
∴f(x)图像恒在第一象限
∴图像恒在第一象限,且过定点（1,1）
再问：证明图像恒在第一象限的过程不明白，可以说清楚一点吗？
再答： t>0时，y=f(t)>0 即是横坐标x为正值时，纵坐标y=f(x)为正值图像是由满足y=f(x)的点 (x,y)构成的点(x,y)都在第一象限，图像就在第一象限设t>0时， f(t)=f(√t*√t)=f(t)*f(t)= [f(√t)]²≥0 【这步明白吗？】即f(t)≥0 若f(t)=0,f（1)=f(t*1/t)=f(t)*f(1/t)=0矛盾 ∴f(t)≠0 那么t>0时，f(t)>0 ∴f(x)图像恒在第一象限
再问：那个x=√t,y=√t是什么？
再答：对于任意的正数t, t可以写成t=√t×√t 这样f(t)=f(√t×√t)=f(√t)*f(√t)=[f(√t)]²≥0 可以得到f(t)≥0 下面再证明f(t)≠0,则就有f(t)>0了
再问：那个是不是根号？看不清楚
再答：是的，在百度打根号都打 √ 比如√4=2

设f(x)是定义在(0,正无穷大)上的非常函数设函数f(x)是定义在(0,正无穷大)上的减函数, 设函数y=f(x)是定义在(0,正无穷大)上的单调函数,且f(x/y)=f(x)-f(y) f(x)是定义在(0,正无穷大)上的递减函数,且f(x) 设f(x)是定义在0到正无穷大上的增函数,且对一切x.y>0满足f(x/y)f(x)-f(y),... 设f (x )是定义在 (0 ,正无穷大 )上的函数满足条件1、 f (x y )=f(x)+f(y) 设函数f（x）是定义在（0,正无穷大）上的增函数,且对任意x,y属于（0.正无穷大）都有f（xy）=f（x）+f（y）, 若f(x)是定义在(0,正无穷大)上的减函数, 设f(x)是定义在0到正无穷大上的增函数,且对一切x.y>0满足f(x/y)=fx-fy 定义在（0,正无穷大）上的函数f（x）是增函数,若f（x）设f(x)是定义在（0,正无穷大）上的增函数,且f(x/y)=f(x)-f(y),解不等式f(x-5)-f(1/x+1) 设f(x)是定义在（负无穷大,正无穷大）上的增函数,且不等式f(1—ax) < f(2—a)对于任意x属于[0,1]都成