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求一阶线性微分方程为什么用常数变易法,不直接用通解公式

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 21:56:09
求一阶线性微分方程为什么用常数变易法,不直接用通解公式
所以看过高数书的人总是觉得“常数变易法”来的那么凶那么直接,那么神奇.对于一阶线性微分方程 y'+Py=Q以前我一直在考虑常数变易法的实质是什么,我觉它就是个特殊的变量代换法.在解齐次方程时用y=ux代换,而这里是y=ue^;一般地代换y=uv,v为x的确定函数.u是x的未知函数,那么u乘以v可以表示任意的x的函数.这是我想到的变量代换的理由.选一个适当的v,就能使方程化成变量可分离的.这个e^是怎么选定的,反向过了看,把e^带入后,得到y'e^-uPe^+uPe^=Q,刚好后两项相互抵消,就可分离了变量了.也就是说当时人们想找一个能使后两项和为零的v,其实这个问题就是解y'+Py=0,刚好就是求对应的齐次方程的解.常数变易法是解线性微分方程行之有效的一种方法.它是拉格朗日十一年的研究成果,我们所用仅是他的结论,