作业帮设R是有限可交换的环且含有单位元1,证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/04 06:12:28
设R是有限可交换的环且含有单位元1,证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子.
对R中元素a ≠ 0,考虑一列元素a,a^2,a^3,...
由R的元素个数有限,存在m > n使a^m = a^n,设b = a^(m-n),即有a^n·(b-1) = 0.
若b = 1,则a^(m-n-1)·a = a·a^(m-n-1) = b = 1,a可逆.
若b ≠ 1,取最小的正整数k使a^k·(b-1) = 0,这样的k存在因为a^n·(b-1) = 0.
此时a^(k-1)·(b-1) ≠ 0,但a·(a^(k-1)·(b-1)) = a^k·(b-1) = 0,a为零因子.
其实交换的条件是多余的.
由R的元素个数有限,存在m > n使a^m = a^n,设b = a^(m-n),即有a^n·(b-1) = 0.
若b = 1,则a^(m-n-1)·a = a·a^(m-n-1) = b = 1,a可逆.
若b ≠ 1,取最小的正整数k使a^k·(b-1) = 0,这样的k存在因为a^n·(b-1) = 0.
此时a^(k-1)·(b-1) ≠ 0,但a·(a^(k-1)·(b-1)) = a^k·(b-1) = 0,a为零因子.
其实交换的条件是多余的.
设R是有限可交换的环且含有单位元1,证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子.
证明：整环中零不是任何元的真因子
一道近世代数题目设G是一个具有乘法运算的非空有限集合,证明:如果G满足结合律,有左单位元,且右消去律成立,则G是一个群
设一个群(G,*) 对于所有x属于G,都有x的平方等于e（好像是单位元）,证明G是可交换群
证明1．设e和0是关于A上二元运算*的单位元和零元,如果|A|>1,则e≠0.2．任一图中度数为奇数的结点是偶数个.3．
一道近世代数证明题设R1,R2都是包含非零元的环,证明:R1⊕R2不是无零因子环这个问题我后来已经想出来了,就不用麻烦大
行最简形矩阵的问题.这个行最简形矩阵的定义是：非零行的第一个非零元为1且这些非零元所在的列的其他元素都是零那么为什么1
设A是m*n矩阵,证明:r(A)=r的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,
设A是m*n矩阵,B是n*s矩阵,满足AB=0,且A,B均为非零矩阵,那么r(A)+r(B)≤n,r(A)≥1,r(B)
a,b均为n阶方阵,b为幂零矩阵a可逆矩阵,且ab可交换,证明a与a+b有相同的特征多项式
设A是m*n矩阵,若存在非零的n*s矩阵B,使得AB=O,证明秩r(A)
4、设A是m×n矩阵,若存在非零的n×s矩阵B,使得AB=O,证明秩r(A)﹤n.