已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,当x属于(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/08 11:11:46
已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,当x属于(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1)
(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并给予证明.(3)当M为何值时,关于X的方程f(x)=M在-1≤x≤1上有实数解?
(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并给予证明.(3)当M为何值时,关于X的方程f(x)=M在-1≤x≤1上有实数解?
(1) x∈(-1, 0) -x∈(0, 1) f(-x)= 2^(-x)/(4^(-x) + 1) = 2^x/(4^x+1)
由于奇函数,f(-x) = -f(x) = 2^x/(4^x+1). 所以f(x) = -2^x/(4^x+1)
另外由于奇函数,所以f(0) = f(-0) = - f(0) = 0
由于周期函数f(1) = f(-1) = -f(1) = 0
所以解析式为
-2^x/(4^x+1) x∈(-1, 0)
f(x) = 2^x/(4^x+1) x∈(0, 1)
0 x=-1,0,1
(2)单调性f(x) = 2^x/(4^x+1) x∈(0,1)令 t = 2^x 则t∈(1,2),且t的对x单调递增
原式化为 f(t) = t/(t^2+1)
学过导数的话可以直接求导了, f'(t) = (t^2+1-2t^2)/(t^2+1)^2 = (1-t^2)/(t^2+1)^2< 0
所以在(0,1)上单调递减
如果没有学过导数,则选t'>t f(t') - f(t) = t'/(t'^2+1) - t/(t^2+1) = ( tt'-1)(t-t')/(t^2+1)(t^2+1) =0 有M ∈[-1/2, 1/2]
其两根为 x1 = 1-(1-4M^2)^1/2 / 2M和x2 = 1-(1-4M^2)^1/2 / 2M
1>=1-4M^2所以1+(1-4M^2)^1/2 > 1-(1-4M^2)^1/2 > 0, 所以M>0
若x1∈(1/2, 2), 1/2
由于奇函数,f(-x) = -f(x) = 2^x/(4^x+1). 所以f(x) = -2^x/(4^x+1)
另外由于奇函数,所以f(0) = f(-0) = - f(0) = 0
由于周期函数f(1) = f(-1) = -f(1) = 0
所以解析式为
-2^x/(4^x+1) x∈(-1, 0)
f(x) = 2^x/(4^x+1) x∈(0, 1)
0 x=-1,0,1
(2)单调性f(x) = 2^x/(4^x+1) x∈(0,1)令 t = 2^x 则t∈(1,2),且t的对x单调递增
原式化为 f(t) = t/(t^2+1)
学过导数的话可以直接求导了, f'(t) = (t^2+1-2t^2)/(t^2+1)^2 = (1-t^2)/(t^2+1)^2< 0
所以在(0,1)上单调递减
如果没有学过导数,则选t'>t f(t') - f(t) = t'/(t'^2+1) - t/(t^2+1) = ( tt'-1)(t-t')/(t^2+1)(t^2+1) =0 有M ∈[-1/2, 1/2]
其两根为 x1 = 1-(1-4M^2)^1/2 / 2M和x2 = 1-(1-4M^2)^1/2 / 2M
1>=1-4M^2所以1+(1-4M^2)^1/2 > 1-(1-4M^2)^1/2 > 0, 所以M>0
若x1∈(1/2, 2), 1/2
已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,当x属于(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1),求f(x)在[-1
定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且x属于(0,1)时f(x)=2^x/(4^x+1)
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定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且X属于(0,1)时,f(x)=2^x/4^x+1,
已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=2x 4x+1
定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的奇函数,且当x属于(0,1)时,f(x)=2^x/4^x+1
已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=2x4x+1.
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定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期为2,且x∈(0,1)时,f(x)=2ˆx/(4ˆx+1)
定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的奇函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1)
定义在R的奇函数f(x)有最小正周期2,当0