（2009•上海）已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f-1（x+

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/04 23:27:33

（2009•上海）已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f^-1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f^-1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”．
（1）判断函数g（x）=x²+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”．求y=f（x）的表达式．

解（1）函数g（x）=x²+1（x＞0）的反函数是g−1(x)＝
x−1(x＞1)，
∴g−1(x+1)＝
x(x＞0)，
而g（x+1）=（x+1）²+1（x＞-1），其反函数为y＝
x−1−1(x＞1)，
故函数g（x）=x²+1（x＞0）不满足“1和性质”．
（2）设函数f（x）=kx+b（x∈R）满足“2和性质”，k≠0．
∴f−1(x)＝
x−b
k(x∈R)，∴f−1(x+2)＝
x+2−b
k，
而 f（x+2）=k（x+2）+b（x∈R），得反函数 y＝
x−b−2k
k，
由“2和性质”定义可知
x+2−b
k＝
x−b−2k
k，对（x∈R）恒成立．
∴k=-1，b∈R，即所求一次函数f（x）=-x+b（b∈R）．
（3）设a＞0，x₀＞0，且点（x₀，y₀）在y=f（ax）图象上，则（y₀，x₀）在函数y=f^-1（ax）图象上，
故

f(ax0)＝y0
f−1(ay0)＝x0，可得 ay₀=f（x₀）=af（ax₀），
令 ax₀=x，则a＝
x
x0，∴f(x0)＝

（2009•上海）已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f-1（x+ 设函数f(x)=a^x+3a(a＞0且a≠1)的反函数为y＝f^-1（x）,已知函数y＝g（x）的图像与函数y＝f^-1 若函数y=f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，则称y=f（x）为“Ω函数已知函数y=f(x)对一切实数都有f（x+y）=f（x）+f（y） 1.求f(-x)+f(x)的值 2.若f(-3)=a 已知函数f(x）对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.求f(0)与f(1)的值已知函数f(x)=log a^x+b(a大于0,a不等于1）,对定义域内的任意x,y都满足f(x/y)=f(x)-f(y .已知函数y=f(x)与y=e^x互为反函数函数y=g(x)的图像与y=f(x)图像关于x轴对称若g(a)=1则实数a值已知函数f(x)是定义在R上的减函数,且对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=1.若f（X）函数f（x）=a x 反函数为：y=log a x，∴f y=f(x)是函数y=a^x (a>0切不等于1)的反函数,图像过（根号a,a）.则f(x)解析式? 已知函数y=f(x)的反函数为y=f^-1(x),又方程f(x)+x-2=0与f^-1(x)+x-2=0的实数解分别为a 函数f（x）=a^x+3a(a>0,a≠1)的反函数是y=f-1（x）