如何证明任意一个方阵可由三角矩阵相乘的形式得到?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/04 19:01:45

此题偏重理解.
首先,任何一个方阵,都可以通过“把k1行的m倍加到k2行上去”这样的操作,转化为行最简阶梯型.这个很好理解对吧.我们解线性方程组的时候都是这么做的.由于现在原矩阵是个方阵,所以你的行最简阶梯型就是一个上三角阵.
我们先心里有数：原矩阵A经过了若干次“把k1行的m倍加到k2行上去”这样的操作,变成了上三角阵B

其次,考察“把k1行的m倍加到k2行上去”这样的操作,这个一个初等行变换,就是左乘了一个初等矩阵.比如把第一行的2倍加到第二行上去,就是原矩阵左乘了这样的一个变换矩阵
1 0 0 ... 0
2 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
...
0 0 0 ... 1
这个变换矩阵还是一个三角阵!可能是上三角也可能是下三角.
比如“第二行的2倍加到第一行上去”,变换矩阵就是
1 2 0 ... 0
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
...
0 0 0 ... 1
那就是一个上三角阵了.

但是总而言之,变换矩阵也是一个三角阵.

所以：“原矩阵A经过一系列这样的变换变成了上三角阵B”,就是“原矩阵A左乘了一系列三角阵变成了B”,
P1* P2 * ... * PN *A = B
其中Pi 都是三角阵,而且是可逆的（因为初等变换矩阵都是满秩,可逆的）
所以等式两边乘以了那些Pi的逆,就是：
A= (PN)^(-1) * ... * (P2)^(-1) * (P1)^(-1) * B
注意到三角阵的逆还是三角阵,所以这样就把A表示成了三角阵的乘积.

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