作业帮设a、b、c∈R+,且a+b+c=3,证明：abc（a^2+b^2+c^2)≤3
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/05 23:48:13
设a、b、c∈R+,且a+b+c=3,证明：abc（a^2+b^2+c^2)≤3
（保加利亚数学奥林匹克试题）
请认真回答，好的我会进行追加分的
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其实这题目很锻炼思维的,下面是我的解答,大家看看对不对.(看图片,文字是latex代码)
由于对于任意$x,y,z \ge 0$,有$(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$.
把$x=bc,y=ca,z=ab$代入得到,$(bc+ca+ab)^2 \ge 3abc(a+b+c)=9abc$,所以$ab+bc+ca \ge 3\sqrt{abc}$
所以由平均值不等式得到,
\[\sqrt[3]{9abc(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt[3]{3\sqrt{abc} \cdot 3\sqrt{abc}(a^2+b^2+c^2)} \]
\[\le \frac{3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+a^2+b^2+c^2}{3}\le \frac{2(ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2}{3}=3\].
从而证明了$abc(a^2+b^2+c^2)\le 3$.即所需的不等式.
由于对于任意$x,y,z \ge 0$,有$(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$.
把$x=bc,y=ca,z=ab$代入得到,$(bc+ca+ab)^2 \ge 3abc(a+b+c)=9abc$,所以$ab+bc+ca \ge 3\sqrt{abc}$
所以由平均值不等式得到,
\[\sqrt[3]{9abc(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt[3]{3\sqrt{abc} \cdot 3\sqrt{abc}(a^2+b^2+c^2)} \]
\[\le \frac{3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+a^2+b^2+c^2}{3}\le \frac{2(ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2}{3}=3\].
从而证明了$abc(a^2+b^2+c^2)\le 3$.即所需的不等式.
设a、b、c∈R+,且a+b+c=3,证明：abc（a^2+b^2+c^2)≤3
设实数a,b,c满足a≤b≤c,且a^2+b^2+c ^2=9.证明abc+1＞3a
设abc都是正实数,证明a/b+c+b/a+c+c/a+b大于等于3/2
设abc都是正实数,证明a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)大于等于3/2
设a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成G.P,公比为a/c,试证r^3+r^2+r=1
设a、b、c为△ABC三边,证明：a(3a+2b+c)²-2b(b+c) +a-2b-2c≥0.
2.已知a,b,c∈R,且a+b+c=0,abc=1,求a,b,c中必有一個大于3/2
已知a、b、c∈R,且a+b+c=2,a+b+c=2,求证：a、b、c∈[0,4/3]
设a,b,c属于R+,用排序不等式证明：(a^a)*(b^b)*(c^c)≥（abc）^((a+b+c)/3)
设a,b,c>0,证明:a^2/b+b^2/c+c^2/a>=a+b+c
已知abc属于r求证a\b+c+b\c+a+c\a+b＞=3/2
在△ABC中,设向量BC=a,向量CA=b,向量AB=c且(a×b):(b×c):(c×a)=1:2:3