作业帮平面几何欧拉定理是怎么证明的?画图
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/09 04:50:33
平面几何欧拉定理是怎么证明的?画图
设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,外心与内心的距离为d,则d^2=R^2-2Rr．
证明
O、I分别为⊿ABC的外心与内心． 连AI并延长交⊙O于点D,由AI平分ÐBAC,故D为弧BC的中点． 连DO并延长交⊙O于E,则DE为与BC垂直的⊙O的直径． 由圆幂定理知,R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点,即可用证明） 但DB=DI（可连BI,证明ÐDBI=ÐDIB得）, 故只需证2Rr=IA·DB,即2R∶DB=IA∶r 即可． 而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R^2-d^2=2Rr,即证．
证明
O、I分别为⊿ABC的外心与内心． 连AI并延长交⊙O于点D,由AI平分ÐBAC,故D为弧BC的中点． 连DO并延长交⊙O于E,则DE为与BC垂直的⊙O的直径． 由圆幂定理知,R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点,即可用证明） 但DB=DI（可连BI,证明ÐDBI=ÐDIB得）, 故只需证2Rr=IA·DB,即2R∶DB=IA∶r 即可． 而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R^2-d^2=2Rr,即证．