这个几分的原函数是怎么来的?要过程
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 01:02:42
这个几分的原函数是怎么来的?要过程
设 t=1/cosx,x∈[0,π],则 t²-1=tan²x,dt=(sinx/cos²x)dx;
∫√(t²-1) dt=∫[|tanx|(sinx)/cos²x]dx;
若 t>0,即 cosx>0,令 u=sinx>0,u=√[1-(1/t)²]=√(t²-1) /t;则:
∫[|tanx|(sinx)/cos²x]dx=∫[(sin²x)/cos³x]dx=∫sin²x/(1-sin²x)²]d(sinx)
=∫[u²/(1-u²)²]du=∫{[1/(1-u)²]+[1/(1+u)²]-[1/(1-u)]-[1/(1+u)]}du
=[1/(1-u)]-[1/(1+u)]+ln|1-u|-ln|1+u)| +C
=[2u/(1-u²)]+ln|(1-u)/(1+u)| +C=[2√(t²-1)/t]/(1/t)² +ln|[t-√(t²-1)]/[t+√(t²-1)]|+C
=2t√(t²-1) +2ln|t-√(t²-1)|+C;
若 t
∫√(t²-1) dt=∫[|tanx|(sinx)/cos²x]dx;
若 t>0,即 cosx>0,令 u=sinx>0,u=√[1-(1/t)²]=√(t²-1) /t;则:
∫[|tanx|(sinx)/cos²x]dx=∫[(sin²x)/cos³x]dx=∫sin²x/(1-sin²x)²]d(sinx)
=∫[u²/(1-u²)²]du=∫{[1/(1-u)²]+[1/(1+u)²]-[1/(1-u)]-[1/(1+u)]}du
=[1/(1-u)]-[1/(1+u)]+ln|1-u|-ln|1+u)| +C
=[2u/(1-u²)]+ln|(1-u)/(1+u)| +C=[2√(t²-1)/t]/(1/t)² +ln|[t-√(t²-1)]/[t+√(t²-1)]|+C
=2t√(t²-1) +2ln|t-√(t²-1)|+C;
若 t
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