已知数列{an}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{bn}的前n项和为Sn，且有Sn=2bn-1

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/05 18:28:56

已知数列{a_n}为等差数列，a₃=5，a₇=13，数列{b_n}的前n项和为S_n，且有S_n=2b_n-1
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_nb_n，{c_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）试比较T_n与a_nS_n的大小，并说明理由．

（1）∵{a_n}是等差数列，且a₃=5，a₇=13，设公差为d．
∴

a1+2d＝5
a1+6d＝13，解得

a1＝1
d＝2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*）（2分）
在{b_n}中，∵S_n=2b_n-1
当n=1时，b₁=2b₁-1，∴b₁=1
当n≥2时，由S_n=2b_n-1及S_n-1=2b_n-1-1可得b_n=2b_n-2b_n-1，∴b_n=2b_n-1
∴{b_n}是首项为1公比为2的等比数列
∴b_n=2^n-1（n∈N^*）（4分）
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）•2^n-1
T_n=1+3•2+5•2²++（2n-1）•2^n-1①
2T_n=1•2+3•2²+5•2³++（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ②
①-②得-T_n=1+2•2+2•2²++2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ
=1+2•
2(1−2n−1)
1−2−(2n−1)•2n
=1+4（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ
=-3-（2n-3）•2ⁿ
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3（n∈N^*）（8分）
（3）T_n-a_nS_n=（2n-3）•2ⁿ+3-（2n-1）（2ⁿ-1）
=（2n-3）•2ⁿ+3-（2n-1）•2ⁿ+2n-1
=2n+2-2•2ⁿ
=2（n+1-2ⁿ）（9分）
令f（x）=x+1-2^x（x≥1），则f'（x）=1-2^xln2
∵f'（x）在[1，+∞）是减函数，又f'（1）=1-2ln2=1-ln4＜0
∴x≥1时，f'（x）＜0
∴x≥1时，f（x）是减函数．
又f（1）=1+1-2=0
∴x≥1时，f（x）≤0
∴x≥1时，x+1-2^x≤0（13分）
∴n∈N^*时，n+1-2ⁿ≤0
∴n∈N^*时，T_n≤a_nS_n（14分）

已知数列{an}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{bn}的前n项和为Sn，且有Sn=2bn-1 设数列｛Bn｝的前n项和为Sn,且Bn=2-2Sn;数列｛An｝为等差数列,且A5=14,A7=20. 设数列{bn}的前n项和为sn,且bn=2-2sn;数列{an}为等差数列,且a5=14,a7=20求设数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=2-2Sn,数列{an}为等差数列,且a5=14,a7=20 设数列Bn的前n项和为Sn,且Bn=2-2Sn.数列An为等差数列,且A5=10,A7=14.(1)求数列An、{bn} 设数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=2-2Sn,数列{an}为等差数列,且a5=14,a7=20 （1）求数列{bn 设数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=2-2s.数列{an}为等差数列,且a5=14,a7=20. 已知在递增等差数列{an}中，a1=2，a1，a3，a7成等比数列数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2n+1−2．设数列bn的前n项和为Sn.且bn=2-2Sn.数列an为等差数列,a5=14.a7=20.求数列bn通项公式.2,若c 设数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=1-bn/2;数列{an}为等差数列,且a6=17,a8=23, 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=5,S15=225.数列{bn}是等比数列,b3=a2+a3,b2b5=1 设数列Bn的前n项和为Sn.且Bn=2-2Sn,数列An为等差数列.a5=14 a7=20,求Bn的通项公式