作业帮任意三角形,每个角的三等份线,交于三个点,证明三点组成的三角形是等边三角形.急用初中知识
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/13 21:31:39
任意三角形,每个角的三等份线,交于三个点,证明三点组成的三角形是等边三角形.急用初中知识
莫利定理
http://baike.baidu.com/view/1686562.html
莫利定理（Morley's theorem）,也称为莫雷角三分线定理. 将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形. 该定理以其美妙和证明困难著称.到目前为止,已经有很多证明方法. 参考资料给出一种证明方法：设△ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线,三边长为a,b,c,三内角为3α,3β,3γ,则α+β+γ=60°. 证法一： 在△ABR中,由正弦定理,得AR=csinβ/sin(α+β). 不失一般性,△ABC外接圆直径为1,则由正弦定理,知c=sin3γ,所以AR= （sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin^2 γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]= 2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）. 同理,AQ=4sinβsinγsin(60°+β) 在△ARQ中,由余弦定理,得RQ^2 =16sin^2 βsin^2 γ[sin^2 (60+γ)+sin^2 (60°+β)-2sin(60°+γ)*sin（60°+β）cosα]=16sin^2 αsin^2 βsin^2 γ. 这是一个关于α,β,γ的对称式,同理可得PQ^2 ,PR^2 有相同的对称性,故PQ=RQ=PR,所以△PQR是正三角形. 证法二： ∵AE：AC=sinγ：sin（a+γ）, AF：AB=sinβ：sin（a+β） , AB：AC=sin3γ：sin3β, ∴AE:AF=（ACsin（a+γ）/sinγ）：（ABsin（a+β）/sinβ）, 而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ）：（sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ）, ∴AE：AF=sin(60°+γ)：sin(60°+β), ∴在△AEF中,∠AEF=60°+γ, 同理∠CED=60°+a, ∴∠DEF=60°, ∴△DEF为正三角形.
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莫利定理（Morley's theorem）,也称为莫雷角三分线定理. 将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形. 该定理以其美妙和证明困难著称.到目前为止,已经有很多证明方法. 参考资料给出一种证明方法：设△ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线,三边长为a,b,c,三内角为3α,3β,3γ,则α+β+γ=60°. 证法一： 在△ABR中,由正弦定理,得AR=csinβ/sin(α+β). 不失一般性,△ABC外接圆直径为1,则由正弦定理,知c=sin3γ,所以AR= （sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin^2 γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]= 2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）. 同理,AQ=4sinβsinγsin(60°+β) 在△ARQ中,由余弦定理,得RQ^2 =16sin^2 βsin^2 γ[sin^2 (60+γ)+sin^2 (60°+β)-2sin(60°+γ)*sin（60°+β）cosα]=16sin^2 αsin^2 βsin^2 γ. 这是一个关于α,β,γ的对称式,同理可得PQ^2 ,PR^2 有相同的对称性,故PQ=RQ=PR,所以△PQR是正三角形. 证法二： ∵AE：AC=sinγ：sin（a+γ）, AF：AB=sinβ：sin（a+β） , AB：AC=sin3γ：sin3β, ∴AE:AF=（ACsin（a+γ）/sinγ）：（ABsin（a+β）/sinβ）, 而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ）：（sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ）, ∴AE：AF=sin(60°+γ)：sin(60°+β), ∴在△AEF中,∠AEF=60°+γ, 同理∠CED=60°+a, ∴∠DEF=60°, ∴△DEF为正三角形.
任意三角形,每个角的三等份线,交于三个点,证明三点组成的三角形是等边三角形.急用初中知识
三角形中线交点如何用向量的知识证明三角形的三条中线交于一个点
证明：三角形的三条中线交于一点,且这个交点是中线的一个三等分点.
证明相似三角形如图,AB=AC,AD是三角形ABC的角平分线,E为AD上任意一点,BE的延长线交AC于点F,交过点C且平
如图,△ABC是等边三角形,O为△ABC内的任意一点,OE‖AB,OF‖AC,分别交BC于点E、F.三角形OEF是等边三
三角形abc是等边三角形 ae等于cd,be交ad于点p,求角dpb的度数
如图,三角形ABC是边长为a的等边三角形,P是三角形ABC内的任意一点,过点P作EF‖AB交AC、BC于点E、F,作GH
初中三角形证明题如图,已知三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,M是AC的中点,AD⊥BM交BC于点D,交BM于
三角形内三线共点问题求 三角形内 三中线 三高线 三中垂线 三角平分线 交于一点的 证明 要求用多种方法 越多越好 多多
如图,三角形ABC是等边三角形,AE=CD,BQ垂直AD于点Q,BE交AD于点P,求角PBQ的度数.
证明：三个角都相等的三角形是等边三角形.证明：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
(数学)任意三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这个点叫三角形的（ ）.