作业帮【蛋疼的数学】哀家花了N久都没有解出来,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/07 21:00:42
【蛋疼的数学】哀家花了N久都没有解出来,
已知f(x)=ax²+bx+c,|f(1)|≦1,|f(0)|≦1,|f(－1)|≦1,求证当x∈[－1,1]时,|f(x)|≦5/4
PS：a≠0
已知f(x)=ax²+bx+c,|f(1)|≦1,|f(0)|≦1,|f(－1)|≦1,求证当x∈[－1,1]时,|f(x)|≦5/4
PS：a≠0
假设a0情况类似）,函数有极大值,由于在x=-1、0、1三点时,函数f(x)的绝对值均不超过1,故其在[-1,1]如有最大值应出现在[-1,0]之间或[0,1]之间,最大值附近点也应该有较大值,即可令f(0)=1,f(-1)=1（或f(0)=1,f(1)=1,f(1)与f(-1)不能同时取最大限值1）；
所以f(0)=c=1,f(-1)=a-b+1=1,f(x)=ax^2+ax+1,max[f(x)]=max[-a(x-1/2)^2+(1-a/4)]=1-a/4；
由|f(1)|=|2a+1|≦1,知 0≧a≧-1；
当a=-1时,最大 f(x)=1-a/4=5/4；
（若取f(0)=f(1)=1时,得到结果相同）；
当a>0时,图象开口向上,函数在[-1,1]区间有极小值,该极小值的绝对值也不超过5/4；
故总有 |f(x)|≦5/4；
所以f(0)=c=1,f(-1)=a-b+1=1,f(x)=ax^2+ax+1,max[f(x)]=max[-a(x-1/2)^2+(1-a/4)]=1-a/4；
由|f(1)|=|2a+1|≦1,知 0≧a≧-1；
当a=-1时,最大 f(x)=1-a/4=5/4；
（若取f(0)=f(1)=1时,得到结果相同）；
当a>0时,图象开口向上,函数在[-1,1]区间有极小值,该极小值的绝对值也不超过5/4；
故总有 |f(x)|≦5/4；
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