作业帮二元函数的二重极限与二次极限
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/03 07:08:54
二元函数的二重极限与二次极限
这个命题是否正确（有证明更佳）:
如果对同一极限过程,两个二次极限一个存在,一个不存在,则此过程的二重极限不存在.
这个命题是否正确（有证明更佳）:
如果对同一极限过程,两个二次极限一个存在,一个不存在,则此过程的二重极限不存在.
错误,累次极限（你说的二次极限）与二重极限之间只有一个结论,就是它们如果都存在,则必相等,其它基本上什么都互推不出.
本题反例：z=xsin(1/xy),考虑(0,0)处的二重极限与累次极限.
首先二重极限显然是存在的,(x,y)--->(0,0)时,该函数是无穷小与有界函数的乘积,结果为0.
但是若先求y的累次极限lim[y--->0] xsin(1/xy)极限不存在,先求x的累次极限lim[x--->0] xsin(1/xy)是存在的.
纠正楼上一个问题：累次极限并不是二重极限的特殊路径.
以趋于原点为例：二重极限是沿着任何方式直接趋于(0,0)这一个点（极限过程中要遵守函数定义域）；
累次极限是所有点先趋于y轴,然后再沿y轴趋于原点,或所有点先趋于x轴,再沿x轴趋于原点,但此时注意到对于xsin(1/xy)这个函数来说,无论是x轴还是y轴都已不在函数的定义域了,因此这个累次极限的路径是超出二重极限的路径范围的.
本题反例：z=xsin(1/xy),考虑(0,0)处的二重极限与累次极限.
首先二重极限显然是存在的,(x,y)--->(0,0)时,该函数是无穷小与有界函数的乘积,结果为0.
但是若先求y的累次极限lim[y--->0] xsin(1/xy)极限不存在,先求x的累次极限lim[x--->0] xsin(1/xy)是存在的.
纠正楼上一个问题：累次极限并不是二重极限的特殊路径.
以趋于原点为例：二重极限是沿着任何方式直接趋于(0,0)这一个点（极限过程中要遵守函数定义域）；
累次极限是所有点先趋于y轴,然后再沿y轴趋于原点,或所有点先趋于x轴,再沿x轴趋于原点,但此时注意到对于xsin(1/xy)这个函数来说,无论是x轴还是y轴都已不在函数的定义域了,因此这个累次极限的路径是超出二重极限的路径范围的.