在一个三角形中,若在边AB AC上取两点P Q,使线段PQ平分△ABC面积,求PQ最小长度
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/13 19:31:17
在一个三角形中,若在边AB AC上取两点P Q,使线段PQ平分△ABC面积,求PQ最小长度
结论:
设AB•AC=2k,∠BAC=α
则当AB,AC都不小于√k时,AP=AQ=√k时,PQ有最小值√【(1-coaα)•2k】
当AB,AC有一边小于√k时,则当PQ为AB,AC中较长边的中线时,PQ有最小值
设其中 较长边AB=x,较短边AC=y,则PQ=√【y²+¼x²-xy•cosα】
(注:以上结论都可由 已知AP、AQ时,用余弦定理【cosα=(AP²+AQ²-PQ²)/(2•AP•AQ)】解△APQ求得)
储备知识:1)S△ABC=½ab•sinC(三角形面积=½•两边及其夹角的正弦)
2)cos(A-B)=(1+tanAtanB)/√[(1+tan^2A)(1+tan^2B)](具体推导可看最后备注)
那么对于直线y=kx,k即为该直线与x轴正方向夹角的正切
而直线AB,AC分别与x轴正方向夹角的差即为∠BAC=α
即 k1=tanA,k2=tanB,A-B=∠BAC=α
故有(1+k1k2)•/√ (1+k1²)(1+k1²)=cosα
【注:我用的方法可能让你难以接受】
因为S△ABC=½•AB•AC•sinα
S△APQ=½•AP•AQ•sinα=½S△ABC
所以AP•AQ=½•AB•AC=k
以A为坐标原点,建立直角坐标系,且使得△ABC都在x轴下方
则直线AB有固定解析式:y=k1•x
直线AC有固定解析式:y=k2•x
设P(a,k1a),Q(b,k2b)
AP=√(a²+k1²a²)=√【(1+k1²)a²】
AQ=√(b²+k2²b²)=√【(1+k1²)b²】
PQ=√【(a-b)²+(k1a-k2b)²】
题目就转化成了,
已知√【(1+k1²)a²】•√【(1+k1²)b²】=k
求√【(a-b)²+(k1a-k2b)²】的最小值
易知ab= k/√ (1+k1²)(1+k1²)
(a-b)²+(k1a-k2b)²
=a²-2ab+b²+k1²a²-2k1k2•ab+k2²b²
=(1+k1²)a²+(1+k2²)b²-2(1+k1k2)ab
=(1+k1²)a²+(1+k2²)b²-2√【(1+k1²)a²】•√【(1+k1²)b²】+2k-2(1+k1k2)•ab
=[√【(1+k1²)a²】-√【(1+k1²)b²】]²+2k-2(1+k1k2)•【k/√ (1+k1²)(1+k1²)】
=[√【(1+k1²)a²】-√【(1+k1²)b²】]²+2k-2k•cosα
=(AP-AQ)²-(1-cosα)·2k
易知当√【(1+k1²)a²】=√【(1+k1²)b²】,即AP=AQ时
PQ有最小值√【(1-coaα)•2k】
此时因为AP•AQ=k,所以AP=AQ=√k
若AB,AC中有一边小于√k
那么就需要使 |AP-AQ|最小,即当PQ为AB,AC中较长边的中线时,PQ有最小值
设其中 较长边AB=x,较短边AC=y
则此时PQ=√【y²+¼x²-xy•cosα】
【备注:求证cos(A-B)=(1+tanAtanB)/√[(1+tan^2A)(1+tan^2B)]】
(1+tan²A)(1+tan²B)=
(1+sin²A/cos²A)(1+sin²B/cos² B)
=[ (cos²A+sin²A)/cos²A][ (cos²B+sin²B)/cos²B]
=[1/cos²A][1/cos²B]
=1/ (cos²A cos²B)
右边=(1+tanAtanB)/√[(1+tan²A)(1+tan²B)]
=(1+tanAtanB)/ [1/ (cosA cosB)]
=(1+tanAtanB) (cosA cosB)
= cosA cosB+sinAsinB
=cos(A-B)=左边,
那么对于直线y=kx,k即为该直线与x轴正方向夹角的正切
而直线AB,AC分别与x轴正方向夹角的差即为∠BAC=α
即 k1=tanA,k2=tanB,A-B=∠BAC=α
故有(1+k1k2)•/√ (1+k1²)(1+k1²)=cosα
【数学爱好者竭诚为你解答】
设AB•AC=2k,∠BAC=α
则当AB,AC都不小于√k时,AP=AQ=√k时,PQ有最小值√【(1-coaα)•2k】
当AB,AC有一边小于√k时,则当PQ为AB,AC中较长边的中线时,PQ有最小值
设其中 较长边AB=x,较短边AC=y,则PQ=√【y²+¼x²-xy•cosα】
(注:以上结论都可由 已知AP、AQ时,用余弦定理【cosα=(AP²+AQ²-PQ²)/(2•AP•AQ)】解△APQ求得)
储备知识:1)S△ABC=½ab•sinC(三角形面积=½•两边及其夹角的正弦)
2)cos(A-B)=(1+tanAtanB)/√[(1+tan^2A)(1+tan^2B)](具体推导可看最后备注)
那么对于直线y=kx,k即为该直线与x轴正方向夹角的正切
而直线AB,AC分别与x轴正方向夹角的差即为∠BAC=α
即 k1=tanA,k2=tanB,A-B=∠BAC=α
故有(1+k1k2)•/√ (1+k1²)(1+k1²)=cosα
【注:我用的方法可能让你难以接受】
因为S△ABC=½•AB•AC•sinα
S△APQ=½•AP•AQ•sinα=½S△ABC
所以AP•AQ=½•AB•AC=k
以A为坐标原点,建立直角坐标系,且使得△ABC都在x轴下方
则直线AB有固定解析式:y=k1•x
直线AC有固定解析式:y=k2•x
设P(a,k1a),Q(b,k2b)
AP=√(a²+k1²a²)=√【(1+k1²)a²】
AQ=√(b²+k2²b²)=√【(1+k1²)b²】
PQ=√【(a-b)²+(k1a-k2b)²】
题目就转化成了,
已知√【(1+k1²)a²】•√【(1+k1²)b²】=k
求√【(a-b)²+(k1a-k2b)²】的最小值
易知ab= k/√ (1+k1²)(1+k1²)
(a-b)²+(k1a-k2b)²
=a²-2ab+b²+k1²a²-2k1k2•ab+k2²b²
=(1+k1²)a²+(1+k2²)b²-2(1+k1k2)ab
=(1+k1²)a²+(1+k2²)b²-2√【(1+k1²)a²】•√【(1+k1²)b²】+2k-2(1+k1k2)•ab
=[√【(1+k1²)a²】-√【(1+k1²)b²】]²+2k-2(1+k1k2)•【k/√ (1+k1²)(1+k1²)】
=[√【(1+k1²)a²】-√【(1+k1²)b²】]²+2k-2k•cosα
=(AP-AQ)²-(1-cosα)·2k
易知当√【(1+k1²)a²】=√【(1+k1²)b²】,即AP=AQ时
PQ有最小值√【(1-coaα)•2k】
此时因为AP•AQ=k,所以AP=AQ=√k
若AB,AC中有一边小于√k
那么就需要使 |AP-AQ|最小,即当PQ为AB,AC中较长边的中线时,PQ有最小值
设其中 较长边AB=x,较短边AC=y
则此时PQ=√【y²+¼x²-xy•cosα】
【备注:求证cos(A-B)=(1+tanAtanB)/√[(1+tan^2A)(1+tan^2B)]】
(1+tan²A)(1+tan²B)=
(1+sin²A/cos²A)(1+sin²B/cos² B)
=[ (cos²A+sin²A)/cos²A][ (cos²B+sin²B)/cos²B]
=[1/cos²A][1/cos²B]
=1/ (cos²A cos²B)
右边=(1+tanAtanB)/√[(1+tan²A)(1+tan²B)]
=(1+tanAtanB)/ [1/ (cosA cosB)]
=(1+tanAtanB) (cosA cosB)
= cosA cosB+sinAsinB
=cos(A-B)=左边,
那么对于直线y=kx,k即为该直线与x轴正方向夹角的正切
而直线AB,AC分别与x轴正方向夹角的差即为∠BAC=α
即 k1=tanA,k2=tanB,A-B=∠BAC=α
故有(1+k1k2)•/√ (1+k1²)(1+k1²)=cosα
【数学爱好者竭诚为你解答】
在一个三角形中,若在边AB AC上取两点P Q,使线段PQ平分△ABC面积,求PQ最小长度
正三角形ABC的边长是2,P、Q分别在AB,AC上运动,且线段PQ将三角形ABC的面积二等分,求线段PQ长的取值范围.
三角形abc中,在ab上取一点p点,在ac上取一点q点,使三角形apq面积为三角形abc的六分之一,求作图pq
在三角形ABC中,线段AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q两点,且BP=PQ=QC,求证:三角形APQ为等边三角形
如图在Rt三角形ABC中,角C=90度,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC上和过点A
在等边三角形ABC中,点P,Q,R在三边AB,BC,AC上,且PQ垂直BC,QR垂直AC,RP垂直AB.若三角形ABC的
在三角形ABC中,AB=AC,点P,Q,分别在AC,AB上,且AP=PQ=QB=BC,求角A
在三角形ABC中,AB=AC,点P,Q分别在AB,AC上,且BC=CP=PQ=AQ,求角A的度数?
RT△ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于A
如图,在Rt△ABC中∠C=90°,BC=6,AC=8,点P是AB中点,点Q是边BC或AC上的一个动点,线段PQ把Rt△
在RT三角形ABC中,角C=90度,AC=10,BC=5,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过A点且垂直于AC的
如图,在△ABC中,AB=AC,角BAC=120°,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且AP=PQ=AQ=3,求BC的长