过y^2-3x^2=3的上支上一点p作双曲线的切线交两条渐近线分别于点a,b,求证；向量oa向量ob相乘为定值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/18 05:30:34

方法一：
设P（m ,n）,则 n^2-3m^2=3 .
对双曲线方程求导得 2 y*y ‘-6x=0 ,因此切线斜率 k=y ’=3x/y=3m/n ,
所以切线方程为 y-n=3m/n*(x-m) ,
化简得 3mx-ny=3m^2-n^2= -3 ,
分别与 y= -√3*x 和 y=√3*x 联立,可解得 A（-√3/(√3*m+n) ,3/(√3m+n) ）,B（-√3/(√3m-n) ,-3/(√3m-n)）,
所以 OA*OB=3/(3m^2-n^2)-9/(3m^2-n^2)=3/(-3)-9/(-3)=2 为定值 .
方法二：设切线方程为 y=kx+b ,代入双曲线方程得 (kx+b)^2-3x^2=3 ,
化简得 (k^2-3)x^2+2kbx+b^2-3=0 ,
判别式=4k^2b^2-4(k^2-3)(b^2-3)=0 ,
解得 b^2=3-k^2 .（1）
双曲线的两渐近线方程为 y^2-3x^2=0 ,
将 y=kx+b 代入可得 (kx+b)^2-3x^2=0 ,
化简得 (k^2-3)x^2+2kbx+b^2=0 ,
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则 x1+x2=2kb/(3-k^2) ,x1*x2=b^2/(k^2-3) ,
所以,y1*y2=(kx1+b)(kx2+b)=k^2x1*x2+kb(x1+x2)+b^2=k^2b^2/(k^2-3)+2k^2b^2(3-k^2)+b^2
=k^2b^2/(3-k^2)+b^2=3b^2/(3-k^2) ,
则 OA*OB=x1*x2+y1*y2=b^2/(k^2-3)+3b^2/(3-k^2)=2b^2/(3-k^2)=2 ,为定值 .

过y^2-3x^2=3的上支上一点p作双曲线的切线交两条渐近线分别于点a,b,求证；向量oa向量ob相乘为定值过双曲线y^2-3x^2=3的上支上一点P作双曲线交两条渐进线分别于点A,B.(1)求证:向量OA·向量OB为定值过点M(-2,0),作直线l交双曲线x^2-y^2=1于A,B不同两点,已知向量OP=向量OA +向量OB①求点P的轨迹已知A是双曲线y=2/x上的一点,过点A作AB//x轴,交双曲线y=-3/x,于B,若OA⊥OB,则OA/OB=____ 抛物线X^2=-2Y与过点M（0,-1）的直线相交于A,B两点,O为原点,求证向量OA.OB为定值过抛物线x^2=4y上不同的两点A,B分别作抛物线的切线相交于P点,向量PA*向量PB=0 已知抛物线y²=2px,过焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,求证:向量OA×向量OB为定值已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x^2-y^2/2=1于A B两点,且向量ON=2/1(向量OA+向量OB) 设P(x,y)是双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2=1上的任一点,过P作双曲线两条渐近线的平行线,分别交渐近线于Q, 过双曲线C:x^2/3-y^2的右焦点F,斜率为1的直线L交C于A、B两点,求向量OA*向量OB. 已知直线l过点D（-2,0）,且与圆x^2/2+y^2=1交于不同的两点A,B,若向量OP=向量OA+向量OB,求点P的已经过点D(-2,0)的直线l与曲线x^2/2+y^2=1交于不同两点A,B.若向量OP=向量OA+向量OB.求点P的轨