已知函数f（x）=p1nx+（p-1）x2+1．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/06 22:51:12

已知函数f（x）=p1nx+（p-1）x2+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当P=1时,f（x）≤kx恒成立,求实数k的取值范围；
（3）证明：1n（n+1）＜1+ 1/ 2 + 1/ 3 +…+ 1/n
（n∈N+）．

此题考点是：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

专题：计算题；证明题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想．

分析：（1）利用导数来讨论函数的单调性即可,具体的步骤是：（1）确定 f（x）的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定的单调区间．若在函数式中含字母系数,往往要分类讨论．（2）当P=1时,f（x）≤kx恒成立,分离参数等价于k≥（1+lnx）/ x ,利用导数求函数h（x）=（1+lnx）/ x的最大值即可求得实数k的取值范围；（3）由（2）知,当k=1时,有f（x）≤x,当x＞1时,f（x）＜x,即lnx＜x-1,令x=（n+1）/n ,则得In·（n+1)/n ＜ 1/n ,利用导数的运算法则进行化简,然后再相加,即可证得结论.

点评：此题是个难题．本题主要考查导数的概念、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性证明不等式和利用导数研究函数性质的能力,考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想．

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