数学 以下两个积分值是否相等?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/03 11:10:20
数学 以下两个积分值是否相等?
对于正数n
两个结果是否相等?
正数,额,我当成正整数了,sorry,我再看看
再问: 但是在n不取整数的情况下两个式子是否相等就不知道了
再答: 也是,但是说理不太好说,我想想
再问: 不过说起来你是怎么一眼看出第二个式子也是求1+1/2+1/3+...+1/n的…… 我觉得我改得已经够隐蔽了呃 不过好像按照这个思路能推出一系列的反常积分,它们的值都是求1+1/2+1/3+...+1/n
再答:
所以应该有从整数推广到实数的方法。
http://en.wikipedia.org/wiki/Hypergeometric_function
再问: 请问这个是……
再答: 我个人认为这题已经达到我不可理解的地步,因为包含了“神迹”。 你想啊,让你把1,4,9,16,25...变成x^2, x属于R,你觉得没什么,大家都会。 但是,让你把1,2,6,24,120,720,7!,8!,9!....变成Γ(x), x属于R,这种工作不是人能完成的,而是神才能完成的。 http://zh.wikipedia.org/wiki/超几何函数 我好像看到了一个名字:高斯 果然是神迹
再问: 不过虽说如此……那个Γ(x) 如果写成反常积分的形式,Γ(x)=∫t^xe^-tdt 总感觉并不是一个多神奇的东西……毕竟可以凑
再答: 我觉得神奇的地方不是可以凑,而是让你把(1,1)(2,2)(3,6)(4,24)(5,120)(6,720)...(n,n!)这些定义域在整数上的东西延拓到实数域上变成Γ(x)=∫t^xe^(-t)dt如果你从来没学过,自己可以把这个函数创造出来,你的数学水平就和巨人们一样了。
http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html所以这道题目实际上是要把(1,1)(2,1+1/2)(3,1+1/2+1/3)(4,1+1/2+1/3+1/4)....
对应的函数创造出来。
找到了!!!原来是这里!!!http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number
看到了Euler。。。。
看来就是这个了。。。
再问: 用初等函数应该无法凑出另一个伽马函数…… 不过它还是很好理解的 毕竟,我是用这个思路凑出的第二个表示1+1/2+1/3+...+1/n的积分式。不过现在看来好像是凑巧,因为若不是1/n,凑出一个这样的函数都是相当困难
再答: 我只是觉得: 当n是整数的时候, 左边=1+1/2+1/3+...+1/n,右边=1+1/2+1/3+...+1/n。 然后你突然要让n从整数变成实数。 这个时候你就不要直接想从原来的式子推广了,因为你都知道: 阶乘n! 推广成Γ(x)是惟一的。 所以1+1/2+1/3+...+1/n推广成Ha也是惟一的。 当然,这个不是证明,只是我的理解,关于为什么推广到实数后,左右是一样的。 而且我用mathmatica计算了一些值,发现确实是相等的。 要是这个方法你觉得太创造力而且太野蛮了,你试试先推广到有理数,然后再推广到实数。
再问: 它肯定不是唯一的,因为我可以随便在上面加一个sin(πx) 说起来那个1+1/2+1/3+...+1/n 有一个简单的方法,设f(x)=x+x^2/2+x^3/3+...+x^n/n f(x)=∫[1+x+x^2+...+x^(n-1)]dx=∫(1-x^n)/(1-x) dx
再答: 你显然对这种推广缺乏直觉,因为你忽略了一个式子: H(a)=H(a-1)+1/a 你的sin方法也满足这个?
再问: sin(πx)在x取整数的时候值横为0,并不影响函数在整数点上取值。因此,可以轻而易举得出一条与原曲线不同的曲线 比如,我设f(x)=∫(1-x^n)/(1-x)dx + sin(2πx+e),毫无疑问满足f(x)-f(x-1)=1/a
再答: 不过你提醒了我,就是我对这种推广也没有清晰的认识,不过我的直觉告诉我,似乎有办法。有些人造的东西缺乏美感,比如人为构造的分段的连续函数。有些东西具有美感,比如y=1/x,即使是不连续的,但是这个函数我觉得是“体面”的。有个东西叫做“解析函数“y=1/x是解析函数。所以应该有方法保证你随便加个sin是人造的。我目前还不清楚。
只需要这一步,代换x/(x+2)=t,然后发现第2个式子和第1个一样,我有种想打人的冲动。。。。
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/0d/30d1bd1be933efda72c2b10e829f7e52.jpg)
再问: 但是在n不取整数的情况下两个式子是否相等就不知道了
再答: 也是,但是说理不太好说,我想想
再问: 不过说起来你是怎么一眼看出第二个式子也是求1+1/2+1/3+...+1/n的…… 我觉得我改得已经够隐蔽了呃 不过好像按照这个思路能推出一系列的反常积分,它们的值都是求1+1/2+1/3+...+1/n
再答:
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/1b/71bf5a591c987324d980d7931dfd9ad2.jpg)
http://en.wikipedia.org/wiki/Hypergeometric_function
再问: 请问这个是……
再答: 我个人认为这题已经达到我不可理解的地步,因为包含了“神迹”。 你想啊,让你把1,4,9,16,25...变成x^2, x属于R,你觉得没什么,大家都会。 但是,让你把1,2,6,24,120,720,7!,8!,9!....变成Γ(x), x属于R,这种工作不是人能完成的,而是神才能完成的。 http://zh.wikipedia.org/wiki/超几何函数 我好像看到了一个名字:高斯 果然是神迹
再问: 不过虽说如此……那个Γ(x) 如果写成反常积分的形式,Γ(x)=∫t^xe^-tdt 总感觉并不是一个多神奇的东西……毕竟可以凑
再答: 我觉得神奇的地方不是可以凑,而是让你把(1,1)(2,2)(3,6)(4,24)(5,120)(6,720)...(n,n!)这些定义域在整数上的东西延拓到实数域上变成Γ(x)=∫t^xe^(-t)dt如果你从来没学过,自己可以把这个函数创造出来,你的数学水平就和巨人们一样了。
http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html所以这道题目实际上是要把(1,1)(2,1+1/2)(3,1+1/2+1/3)(4,1+1/2+1/3+1/4)....
对应的函数创造出来。
找到了!!!原来是这里!!!http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_number
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/f9/0f9c5e7bf14645c966e92209437bbe2f.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/4f/44f3cc34718e3aab2caa4b3d56f50bac.jpg)
再问: 用初等函数应该无法凑出另一个伽马函数…… 不过它还是很好理解的 毕竟,我是用这个思路凑出的第二个表示1+1/2+1/3+...+1/n的积分式。不过现在看来好像是凑巧,因为若不是1/n,凑出一个这样的函数都是相当困难
再答: 我只是觉得: 当n是整数的时候, 左边=1+1/2+1/3+...+1/n,右边=1+1/2+1/3+...+1/n。 然后你突然要让n从整数变成实数。 这个时候你就不要直接想从原来的式子推广了,因为你都知道: 阶乘n! 推广成Γ(x)是惟一的。 所以1+1/2+1/3+...+1/n推广成Ha也是惟一的。 当然,这个不是证明,只是我的理解,关于为什么推广到实数后,左右是一样的。 而且我用mathmatica计算了一些值,发现确实是相等的。 要是这个方法你觉得太创造力而且太野蛮了,你试试先推广到有理数,然后再推广到实数。
再问: 它肯定不是唯一的,因为我可以随便在上面加一个sin(πx) 说起来那个1+1/2+1/3+...+1/n 有一个简单的方法,设f(x)=x+x^2/2+x^3/3+...+x^n/n f(x)=∫[1+x+x^2+...+x^(n-1)]dx=∫(1-x^n)/(1-x) dx
再答: 你显然对这种推广缺乏直觉,因为你忽略了一个式子: H(a)=H(a-1)+1/a 你的sin方法也满足这个?
再问: sin(πx)在x取整数的时候值横为0,并不影响函数在整数点上取值。因此,可以轻而易举得出一条与原曲线不同的曲线 比如,我设f(x)=∫(1-x^n)/(1-x)dx + sin(2πx+e),毫无疑问满足f(x)-f(x-1)=1/a
再答: 不过你提醒了我,就是我对这种推广也没有清晰的认识,不过我的直觉告诉我,似乎有办法。有些人造的东西缺乏美感,比如人为构造的分段的连续函数。有些东西具有美感,比如y=1/x,即使是不连续的,但是这个函数我觉得是“体面”的。有个东西叫做“解析函数“y=1/x是解析函数。所以应该有方法保证你随便加个sin是人造的。我目前还不清楚。
只需要这一步,代换x/(x+2)=t,然后发现第2个式子和第1个一样,我有种想打人的冲动。。。。
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/0d/30d1bd1be933efda72c2b10e829f7e52.jpg)
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