已知函数f（x）=x，g（x）=aln x，a∈R．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/16 14:51:23

已知函数f（x）=

（1）由条件知h（x）=
x-aln x（x＞0）．
∴h′（x）=
1
2
x-
a
x=

x−2a
2x．
①当a＞0时，令h′（x）=0，解得x=4a²，
∴当0＜x＜4a²时，h′（x）＜0，h（x）在（0，4a²）上递减；
当x＞4a²时，h′（x）＞0，h（x）在（4a²，+∞）上递增．
∴x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，
且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点．
∴最小值φ（a）=h（4a²）=2a-aln 4a²=2a（1-ln 2a）．
②当a≤0时，h′（x）=

x−2a
2x＞0，h（x）在（0，+∞）上递增，无最小值．
故h（x）的最小值为φ（a）=2a（1-ln 2a）（a＞0）．
（2）由（1）知φ（a）=2a（1-ln 2a），（a＞0）．
则φ′（a）=-2ln 2a，令φ′（a）=0，解得a=
1
2．
当0＜a＜
1
2时，φ′（a）＞0，∴φ（a）在（0，
1
2）上递增；
当a＞
1
2时，φ′（a）＜0，∴φ（a）在（
1
2，+∞）上递减．
∴φ（a）在a=
1
2处取得极大值φ（
1
2）=1，
∵φ（a）在（0，+∞）上有且只有一个极值点，
所以φ（
1
2）=1也是φ（a）的最大值．
∴当a∈（0，+∞）时，总有φ（a）≤1．

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