(2012•孝感模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M分别是棱AD,DD1,D1A1,A1
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/06 00:07:04
(2012•孝感模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M分别是棱AD,DD1,D1A1,A1A,AB的中点,点N在四边形EFGH的四边及其内部运动,则当N只需满足条件______时,就有MN⊥A1C1;当N只需满足条件______时,就有MN∥平面B1D1C.
(1)连接EG、EM、GM、BD
∵正方形AA1D1D中,E、G分别为AD、A1D1的中点
∴EG∥AA1
∵AA1⊥平面A1B1C1D1
∴EG⊥平面A1B1C1D1
∵A1C1⊂平面A1B1C1D1
∴A1C1⊥EG
∵在△ABD中,EM是中位线
∴EM∥BD
∵BB1∥DD1且BB1=DD1
∴四边形BB1D1D是平行四边形,B1D1∥BD
∴EM∥B1D1
∵正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1
∴A1C1⊥EM
∵EM∩EG=E,EM、EG⊂平面EGM
∴A1C1⊥平面EGM
因此,当点N在EG上时,直线MN⊂平面EGM,有MN⊥A1C1成立;
(2)连接MH、A1B
根据(1)的证明,EM∥B1D1
∵EM⊄平面B1D1C,B1D1⊂平面B1D1C,
∴EM∥平面B1D1C
同理可得MH∥平面B1D1C
∵EM∩MH=M,EM、MH⊂平面EHM
∴平面EHM∥平面B1D1C
∴当点N在EH上时,MN⊂平面EHM,有MN∥平面B1D1C成立.
故答案为:点N在EG上,点N在EH上
∵正方形AA1D1D中,E、G分别为AD、A1D1的中点
∴EG∥AA1
∵AA1⊥平面A1B1C1D1
∴EG⊥平面A1B1C1D1
∵A1C1⊂平面A1B1C1D1
∴A1C1⊥EG
∵在△ABD中,EM是中位线
∴EM∥BD
∵BB1∥DD1且BB1=DD1
∴四边形BB1D1D是平行四边形,B1D1∥BD
∴EM∥B1D1
∵正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1
∴A1C1⊥EM
∵EM∩EG=E,EM、EG⊂平面EGM
∴A1C1⊥平面EGM
因此,当点N在EG上时,直线MN⊂平面EGM,有MN⊥A1C1成立;
(2)连接MH、A1B
根据(1)的证明,EM∥B1D1
∵EM⊄平面B1D1C,B1D1⊂平面B1D1C,
∴EM∥平面B1D1C
同理可得MH∥平面B1D1C
∵EM∩MH=M,EM、MH⊂平面EHM
∴平面EHM∥平面B1D1C
∴当点N在EH上时,MN⊂平面EHM,有MN∥平面B1D1C成立.
故答案为:点N在EG上,点N在EH上
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