运用达布定理可以得出,若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上至多存在振荡型间断点?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/04 15:50:34

运用达布定理可以得出,若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上至多存在振荡型间断点?
此外,运用达布定理很容易看出,若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上至多存在振荡型间断点,而不可能存在第一类间断点和无穷型间断点.怎样证明?这是百度百科摘出来的原话.

其实用L'Hospital法则证明会比较简单.
对c ∈ [a,b],由f(x)在c处可导,有f(x)在c连续,即lim{x → c} f(x)-f(c) = 0.
又显然lim{x → c} x-c = 0,因此x → c时(f(x)-f(c))/(x-c)是0/0型极限.
由L'Hospital法则,若右极限lim{x → c+} f'(x)存在,则有:
右导数f'(c+) = lim{x → c+} (f(x)-f(c))/(x-c) = lim{x → c+} (f(x)-f(c))'/(x-c)' = lim{x → c+} f'(x).
同理若左极限lim{x → c-} f'(x)存在,则有左导数f'(c-) = lim{x → c-} f'(x).
f(x)在c可导,故f'(c-) = f'(c+) = f'(c).
因此若f'(x)在c存在左右极限,则lim{x → c-} f'(x) = f'(c) = lim{x → c+} f'(x),即f'(x)在c连续.
即f'(x)没有第一类间断点.
无穷型间断点类似.
若lim{x → c+} f'(x) = +∞,可得f'(c+) = +∞,与f(x)在c可导矛盾.
不过要说明若lim{x → c+} f'(x) = ∞则lim{x → c+} f'(x) = +∞或lim{x → c+} f'(x) = -∞,
还是用Darboux定理比较方便.
因为介值性要求在f'(x)的正值和负值之间总有取0的点.
所以在lim{x → c+} f'(x) = ∞的条件下,f'(x)在充分接近c时只能恒正或恒负.

函数f(x)在定义区间[a,b] 上单调,若f(x)有间断点只能是第一类间断点..这句话是错的吧? 高数设函数f(x)=x^2-1/X^2-x-2,则x=2是f(x)的 A可去间断点 B:跳跃间断点C无穷间断点D振荡间请问在函数是否可积时,所用到的定理：函数f(x)在区间[a,b]上有界,并且只有有限个第一间断点,则【中值定理证明题】设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)f(b)>0,f(a)f((a+b)/ 高等数学的关于导函数间断点的问题.某函数F(x)zai (a,b)上可导,若F‘（x）存在间断点,必为第二类间断点用区间套定理证明连虚函数有界性定理:若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界用介值性定理证明:若f(x)与g(x)在[a,b]上连续,且f(a)g(b),则必存在点 x0属属于(a,b),满足f( 中值定理与等式证明设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明：至少存在一点x,使 [bf(b)-af(a 关于零点存在性定理定理（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f( 零点存在定理:如果连续函数f(x)在区间[a,b]上存在零点,则f(a)f(b)≤0 f(x)在[a,b]上连续,(a,b)上可导,且f′(x)>0,若x趋向于a+,limf(2x-a)/(x-a)存在,证柯西中值定理设函数f(x)在[a.b]上连续.在(a.b)上可导.并且g'(x)不等于0.证明在(a.b)上存在一点e使