给定一个正整数n,凸n边形中最多有多少个内角等于150°?并说明理由.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/27 10:17:19
给定一个正整数n,凸n边形中最多有多少个内角等于150°?并说明理由.
设凸n边形最多有k个内角等于150°,则每个150°内角的外角都等于30°,
而凸n边形的n个外角和为360°,所以k≤
360
30=12,
只有当n=12时,
k才有最大值12.
下面我们讨论n≠12时的情况:
(1)当n>12时,显然,k的值是11;
(2)当n=3,4,5,6,7时,k的值分别为1,2,3,4,5;
(3)当n=8,9,10,11时,k的值分别为7,8,9,10.
综上所述,当3≤n≤7时,凸n边形最多有n-2个内角等于150°;
当8≤n≤11时,凸n边形最多有n-1个内角等于150°;
当n=12时,凸n边形最多有12个内角等于150°;
当n>12时,凸n边形最多有11个内角等于150°.
而凸n边形的n个外角和为360°,所以k≤
360
30=12,
只有当n=12时,
k才有最大值12.
下面我们讨论n≠12时的情况:
(1)当n>12时,显然,k的值是11;
(2)当n=3,4,5,6,7时,k的值分别为1,2,3,4,5;
(3)当n=8,9,10,11时,k的值分别为7,8,9,10.
综上所述,当3≤n≤7时,凸n边形最多有n-2个内角等于150°;
当8≤n≤11时,凸n边形最多有n-1个内角等于150°;
当n=12时,凸n边形最多有12个内角等于150°;
当n>12时,凸n边形最多有11个内角等于150°.
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