作业帮若对于任意n个连续正整数中，总存在一个数的数字之和是8的倍数．试确定n的最小值．并说明理由．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 00:05:13
若对于任意n个连续正整数中，总存在一个数的数字之和是8的倍数．试确定n的最小值．并说明理由．
先证n≤14时，题设的性质不成立．
当N=14时，对于9999993，9999994，…，10000006这14个连续整数，任意一个数的数字之和均不能被8整除．
故n≤14时，题设的性质不成立．
因此，要使题设的性质成立，应有n≥15．
再证n=15时，题设的性质成立．
设a1，a2，…，a15为任意的连续15个正整数，则这15个正整数中，个位数字为0的整数最多有两个，最少有一个，可以分为：
（1）当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数有两个时，
设ai＜aj，且ai、aj的个位数字为0，则满足ai，ai+1，…，ai+9，aj为连续的11个整数，其中ai，ai+1，…，ai+9，aj无进位．
设ni表示ai各位数字之和，则前10个数各位数字之和分别为ni，ni+1，…，ni+9．
故这连续的10个数中至少有一个被8整除．
（2）当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数有一个时（记为ai），
①若整数i满足1≤i≤8时，则在ai后面至少有7个连续整数，于是ai，ai+1，…，ai+7这8个连续整数的个位数字之和也为8个连续整数，所以，必有一个数能被8整除．
②若整数i满足9≤i≤15时，则在ai前面至少有8个连续整数，不妨设ai-8，ai-7，…，ai-1这8个连续整数的个位数字之和也为8个连续整数，所以，必有一个数能被8整除．
综上，对于任意15个连续整数中，必有一个数，其各位数字之和是8的倍数．
而小于15个的任意连续整数不成立此性质．
∴n的最小值是15．
当N=14时，对于9999993，9999994，…，10000006这14个连续整数，任意一个数的数字之和均不能被8整除．
故n≤14时，题设的性质不成立．
因此，要使题设的性质成立，应有n≥15．
再证n=15时，题设的性质成立．
设a1，a2，…，a15为任意的连续15个正整数，则这15个正整数中，个位数字为0的整数最多有两个，最少有一个，可以分为：
（1）当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数有两个时，
设ai＜aj，且ai、aj的个位数字为0，则满足ai，ai+1，…，ai+9，aj为连续的11个整数，其中ai，ai+1，…，ai+9，aj无进位．
设ni表示ai各位数字之和，则前10个数各位数字之和分别为ni，ni+1，…，ni+9．
故这连续的10个数中至少有一个被8整除．
（2）当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数有一个时（记为ai），
①若整数i满足1≤i≤8时，则在ai后面至少有7个连续整数，于是ai，ai+1，…，ai+7这8个连续整数的个位数字之和也为8个连续整数，所以，必有一个数能被8整除．
②若整数i满足9≤i≤15时，则在ai前面至少有8个连续整数，不妨设ai-8，ai-7，…，ai-1这8个连续整数的个位数字之和也为8个连续整数，所以，必有一个数能被8整除．
综上，对于任意15个连续整数中，必有一个数，其各位数字之和是8的倍数．
而小于15个的任意连续整数不成立此性质．
∴n的最小值是15．
若对于任意n个连续正整数中,总存在一个数的数字之和是8的倍数.试确定n的最小值并说明理由
若对于任意n个连续正整数中，总存在一个数的数字之和是8的倍数．试确定n的最小值．并说明理由．
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