在四面体P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC,PCA两两垂直,与底面所成二面角分别为α,β,γ,试证明
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/13 10:59:59
在四面体P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC,PCA两两垂直,与底面所成二面角分别为α,β,γ,试证明
在四面体P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC,PCA两两垂直,与底面所成二面角分别为α,β,γ,试证明cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1
cos^2α是指α余弦的平方
在四面体P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC,PCA两两垂直,与底面所成二面角分别为α,β,γ,试证明cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1
cos^2α是指α余弦的平方
设PA = a,PB = b,PC = c,
则:AB^2 = a^2+b^2,BC^2 = b^2 +c^2,AC^2 =a^2 +c^2.
由余弦定理:cos角ABC = [b^2]/[根号(a^2+b^2)(b^2+c^2)]
sin角ABC =根号{ [(a^2+b^2)(b^2+c^2)]-b^4]}/根号[(a^2+b^2)(b^2+c^2)]
三角形ABC的面积为S=(1/2)AB*BC*sin角ABC
=(1/2)根号 [(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)]
三角形PAB,PBC,PAC的面积分别为:s1,s2,s3 .
分别有s1= (1/2)a*b,s2=(1/2)bc,s3= (1/2)ac.
由投影定理:s1 = S*cosα,s2= S*cosβ s3 = S*cosγ
即:cosα=(s1)/S,cosβ = (s2)/S cosγ= (s3)/S.
则有:(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2=[(s1)^2 +(s2)^2 +(s3)^2]/[S^2]
=(1/4)[(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)]/{(1/4)[(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)]}=1.
即有::(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2 = 1.
则:AB^2 = a^2+b^2,BC^2 = b^2 +c^2,AC^2 =a^2 +c^2.
由余弦定理:cos角ABC = [b^2]/[根号(a^2+b^2)(b^2+c^2)]
sin角ABC =根号{ [(a^2+b^2)(b^2+c^2)]-b^4]}/根号[(a^2+b^2)(b^2+c^2)]
三角形ABC的面积为S=(1/2)AB*BC*sin角ABC
=(1/2)根号 [(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)]
三角形PAB,PBC,PAC的面积分别为:s1,s2,s3 .
分别有s1= (1/2)a*b,s2=(1/2)bc,s3= (1/2)ac.
由投影定理:s1 = S*cosα,s2= S*cosβ s3 = S*cosγ
即:cosα=(s1)/S,cosβ = (s2)/S cosγ= (s3)/S.
则有:(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2=[(s1)^2 +(s2)^2 +(s3)^2]/[S^2]
=(1/4)[(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)]/{(1/4)[(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)]}=1.
即有::(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2 = 1.
在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,M是面ABC内一点,M到三个面PAB,PBC,PCA的距离分别是2,3,
已知三棱锥P-ABC,PA,PB,PC两两垂直,若记△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积分别为S1,S2,S3,
若三棱锥P-ABC的三个侧面两两垂直,则证明P在底面的投影为△ABC的垂心
已知正三棱锥P-ABC的体积为72根号3,侧面积与底面所成二面角为60度.证明:PA垂直于BC
高中数学:已知三棱锥P-ABC中,三侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,三侧面与底面所成
在棱锥P-ABC中,侧棱PA、PB、PC两两垂直,Q为底面△ABC内一点,若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5,则以线
在棱锥P-ABC中,侧棱PA.PB.PC两两相互垂直,Q为底面三角形ABC内一点,若点Q到三个侧面的距离分别是3.4.5
如图,正三棱锥S﹣ABC中,侧面SAB与底面ABC所成的二面角等于α,动点P在侧面SAB内,PQ⊥底面ABC,垂足为Q,
从P点引三条射线PA,PB,PC,每两条射线夹角为60°,则平面PAB和平面PBC所成二面角正弦值为( )
在正三棱锥P-ABC中,M、N分别是侧棱PB,PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此三棱锥的侧面与底面所成的角的正切
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且长分别为a,b,c,又(a2+b2)c=6,侧面PAB与底面ABC所成的角为6
在三角形ABC中,角C=90°,P为三角形内一点,且S三角形PAB=S三角形PBC=S三角形PCA.