如图,已知P为角AOB的边OA上的一点,以P为顶点的角MPN的两边分别交射线OB于M,N两点,且角MPN=角AOB=β（

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/09 06:31:52

如图,已知P为角AOB的边OA上的一点,以P为顶点的角MPN的两边分别交射线OB于M,N两点,且角MPN=角AOB=β（β为锐角）.当角MPN以点P为旋转中心,PM边与PO重合的位置开始,按逆时针方向旋转（角MPN保持不变）时,M,N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平移,设OM=x,ON=y（y＞x＞0）,△POM的面积为S.
（1）求证：△OPN∽△PMN；
（2）写出y与x之间的关系式;
（3）试写出S随x变化的函数关系式,并确定S的取值范围.

1）△OPN∽△PMN．
证明：在△OPN和△PMN中,
∠PON=∠MPN=60°,∠ONP=∠PNM,
∴△OPN∽△PMN；
（2）∵MN=ON-OM=y-x,
∵△OPN∽△PMN,
∴PN
MN
=ON
PN
,
∴PN2=ON•MN=y（y-x）=y2-xy．
过P点作PD⊥OB,垂足为D．
在Rt△OPD中,
OD=OP•cos60°=2×1
2
=1,PD=POsin60°= 3
,
∴DN=ON-OD=y-1．
在Rt△PND中,
PN2=PD2+DN2=（ 3
）2+（y-1）2=y2-2y+4,
∴y2-xy=y2-2y+4,
即y=4
2-x
；
（3）在△OPM中,OM边上的高PD为 3
,
∴S=1
2
•OM•PD=1
2
•x• 3
= 3
2
x,
∵y＞0,
∴2-x＞0,即x＜2．
又∵x＞0,
∴x的取值范围是0＜x＜2．
∵S是x的正比例函数,且比例系数 3
2
＞0,
∴0＜S＜根号 3
2
×2,
即0＜S＜根号 3

如图,已知P为∠AOB的边OA上的一点,以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点,且∠MPN=∠AOB=α（已知P为∠AOB的边OA上一点,OP =2,以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点,且∠MPN=∠AOB= 如图,已知P为∠AOB上的一点,OP=2.以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点,且∠AOB=∠MPN=α 如图,已知P为∠AOB的边OA上的一点,且OP=2.以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M,N两点,且如图,已知P为脚AOB的边OA上一点,且OP=2,以P为顶点的脚MPN的两边分别交射线OB于M,N 已知P为∠AOB的边OA上的一点,以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M 如图,已知P为∠AOB的边OA上的一点,以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M,N两如图,∠AOB=50°,P为∠AOB内部一点,点M、N分别是OA、OB上的动点,当△PMN周长最小时,∠MPN的大小是多如图已知点P为角AOB内一点,分别作出点P关于OA,OB的对称点M,N,连接MN,交OA于点C,交OB于点D,若MN=1 已知：如图,∠AOB内一点P,∠AOB=60°,OP=6,在OA,OB上作一点M,N,使△MPN的周长最短,并求出它的值如图点P关于OA OB的对称点分别为点C,D 连接CD 交OA于点M 交OB于点N 若角C加角D等于50° 则角MPN 已知角AOB内一点P,点P关于OA,OB的对称点分别为P1,P2,并连结P1,P2交OA于M,OB于N,若P1P2=5c