向量什么三角不等式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的证明.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/14 08:00:34
向量什么三角不等式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的证明.
你给的这个向量不等式,可以根据三角形的三角不等式进行证明.
三角不等式:△ABC中,三边满足不等式:
|a - b| < c < a + b; ①
即:三角形中的任意一边,大于其余两边之差,小于这两边之和.
(注:上面的 a、b、c 都是边长,是数量;下面讨论中的a、b、c 都是向量)
对于你给的不等式,可以拆分为两个,要分别证明:
|a| - |b| ≤ |a+b| ≤ |a| + |b|; ②
|a| - |b| ≤ |a- b| ≤ |a| + |b|; ③
1、证明 ② 式:
需分两种情况讨论:
(1)两向量不共线;
此时,将a、b首尾相接,可形成一个三角形的两边.而它们的向量之和:a+b,恰好是这个三角形的第三条边,记作:c;根据①式有:
||a| - |b|| < |c| < |a| + |b|; ④
其中,c= a + b;而根据“一个数的绝对值,肯定不小于这个数本身”可知:
|a| - |b| ≤ ||a| - |b||
将上面的式子代入 ④ 式,可知:
|a| - |b| < |a+b| < |a| + |b|;
显然,该式满足不等式 ②;
(2)两向量共线;
此时,若将a、b首尾相接,得到的合向量的长度只有两种值:
1)|a+b| = |a| + |b|;
2)|a+b| = ||a| - |b||;
而这两个式子也都满足 ②.
综合(1)、(2)可知,不等式 ② 对于任何两个向量都成立.
2、证明 ③ 式:
对于 ③ 式,可以将其转换为 ② 式的形式,然后予以证明:
设向量 x= -b;则 ③ 式变为:
|a| - |-x| ≤ |a+x| ≤ |a| + |-x|;
因为负向量的绝对值与正向量相等,所以上式等价于:
|a| - |x| ≤ |a+x| ≤ |a| + |x|; ⑤
显然,⑤ 式符合 ② 式,所以成立;而 ⑤ 式又等价于 ③ 式,所以 ③ 式也成立.
综合 1、2,可证明你给的不等式对于任何两个向量都成立.
三角不等式:△ABC中,三边满足不等式:
|a - b| < c < a + b; ①
即:三角形中的任意一边,大于其余两边之差,小于这两边之和.
(注:上面的 a、b、c 都是边长,是数量;下面讨论中的a、b、c 都是向量)
对于你给的不等式,可以拆分为两个,要分别证明:
|a| - |b| ≤ |a+b| ≤ |a| + |b|; ②
|a| - |b| ≤ |a- b| ≤ |a| + |b|; ③
1、证明 ② 式:
需分两种情况讨论:
(1)两向量不共线;
此时,将a、b首尾相接,可形成一个三角形的两边.而它们的向量之和:a+b,恰好是这个三角形的第三条边,记作:c;根据①式有:
||a| - |b|| < |c| < |a| + |b|; ④
其中,c= a + b;而根据“一个数的绝对值,肯定不小于这个数本身”可知:
|a| - |b| ≤ ||a| - |b||
将上面的式子代入 ④ 式,可知:
|a| - |b| < |a+b| < |a| + |b|;
显然,该式满足不等式 ②;
(2)两向量共线;
此时,若将a、b首尾相接,得到的合向量的长度只有两种值:
1)|a+b| = |a| + |b|;
2)|a+b| = ||a| - |b||;
而这两个式子也都满足 ②.
综合(1)、(2)可知,不等式 ② 对于任何两个向量都成立.
2、证明 ③ 式:
对于 ③ 式,可以将其转换为 ② 式的形式,然后予以证明:
设向量 x= -b;则 ③ 式变为:
|a| - |-x| ≤ |a+x| ≤ |a| + |-x|;
因为负向量的绝对值与正向量相等,所以上式等价于:
|a| - |x| ≤ |a+x| ≤ |a| + |x|; ⑤
显然,⑤ 式符合 ② 式,所以成立;而 ⑤ 式又等价于 ③ 式,所以 ③ 式也成立.
综合 1、2,可证明你给的不等式对于任何两个向量都成立.
向量a与向量b是非零向量,如何证明向量a的模-向量b的模的绝对值≤向量a加向量b的模≤向量a的模加向量b的模
证明不等式|a+b|/(1+|a+b|)
分析法证明不等式已知非零向量a,b,a⊥b,求证|a|+|b|/|a+b|
已知非零向量a⊥b,证明:(|a|+|b|)/|a-b|≤√2
证明:|a-b|≤|a-c|+|b-c|(a,b,c均为向量)
已知a,b为非零向量根据平面向量数量积的定义证明向量性质:丨ab丨≤丨a丨丨b丨,并用该性质证明不等式(mp+nq)^2
证明:对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|
已知向量a=(1,cosB),向量b=(1,-cosB),向量c=(2/3,1),若不等式向量a.b≤t(2a b).c
绝对值三角不等式公式| |a|-|b| | ≤ |a±b| ≤ |a| + |b|中的取等条件:同向ab小于等于0,异向
证明不等式[(a+b)/2]2≤(a2+b2)/2
|sinb-sina|≤|b-a| 利用格拉郎日定理证明不等式.
证明如下不等式:ㄧa-bㄧ≤ㄧa-cㄧ+ㄧc-bㄧ