如图1，在平面直角坐标系中，已知梯形ABCD，点A、B在y轴上，点C在x轴上，AB∥CD，OA=2CD，OC=OB，ta

如图1，在平面直角坐标系中，已知梯形ABCD，点A、B在y轴上，点C在x轴上，AB∥CD，OA=2CD，OC=OB，tan∠A=2，梯形S_ABCD=5．
（1）求直线L的解析式；
（2）如图2，若45°角的顶点与点A重合，一条边交x轴于点P（-1.5，0），另一条边交直线L于点E，将45°角绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0＜α＜135°）．设OP=x，S_△PEC=S，求S与x的关系式；
（3）如图3，在②的条件下，射线AE交直线DC于点F，连接PF，在旋转过程中，若△PEC的面积为

3

2

（1）过D作DH⊥y轴于点H．设AH=x，
∵tanA=
DH
AH=
DH
x=2，
∴DH=2x，
∵OA=2CD=2OH，
∴CD=OH=x，OC=OB=2x，
∴S_梯形AOCD=
1
2（CD+AB）•OC，即5=
1
2（x+4x）•2x，
解得：x=1，
∴OC=OB=2x=2，
∴OC=OB=2，
∴C的坐标是（2，0），B的坐标是（0，2）．
设直线l的解析式是：y=kx+b，则

2k+b＝0
b＝−2，
解得：

k＝1
b＝−2，
则函数的解析式是：y=x-2；
（2）第一种情况：当点P在x轴负半轴时，连接AC，∵OA=OC=OB=2，
∴∠ACB=90°，∠OAC=45°，
∴∠ACE=∠AOP=90°，
∵∠2+∠3=45°，∠1+∠3=45°，
∴∠1=∠2，
∴△ACE∽△APO，
∴
CE
OP=
AC
OA=
2，即CE=
2OP，
过点E作EG⊥x轴，于点G．
∵OC=OB=2，
∴∠OCB=45°，
∴△CEG是等腰直角三角形，
∴CE=
2EG，
∴OP=EG=x，
∴S_△PEC=
1
2PC•EG=
1
2（x+2）•x=
1
2x²+2x；
第二种情况：当点P在线段OC上时，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠AOP=90°，
∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴△AOP∽△ACE，
∴
CE
OP=
AC
OA=
2，
∴CE=
2OP，
过E作EG⊥x轴，垂直是G，可得等腰△CEG，
∴CE=
2EG，
∴EG=OP=x，
S_△PEC=
1
2PC•EG=
1
2（2-x）•x=
1
2x²+x，
第三种情况，当点P在线段OC上时
同理可得：△AOP∽△ACE，
∴
CE
OP=
AC
OA=
2，
∴CE=
2OP，
过E作x轴的垂线，垂足是G，可得等腰直角△CEG，
∴CE=
2EG，
∴EG=OP=x，
∴S_△PEC=
1
2PC•EG=
1
2（x-2）•x=
1
2x²-2x，
∴当P在x轴负半轴上，S=
1
2x²+2x，
当P在线段OC上时，S=-
1
2x2+x，
当P在OC延长线上时，S=
1
2x²-2x；
（3）第一种情况，把S=
3
2代入s=
1
2x²+2x，解得：x₁=1，x₂=-3，（舍去），
∴OP=EG=1，设E（a，-1），
∴把y=-1代入y═x-2得：a=1，则E（1，-1），
∵A的坐标是（0，2），
∴直线AE的解析式是y=-3x+2，
∵A（0，2），
∴直线AE的解析式是：y=-3x+2，
∵OC=2，设F（2，b）代入y=-3x+2，得b=-4，
∴F（2，-4），
直角△PCF中，PC=3，CF=4，则PF=5，
过E作EN⊥PF，垂足是N，则
1
2×3×4=
1
2×3×1+
1
2×4×1+
1
2×5•EN，
解得：EN=1，
∵EG⊥PC，EN⊥PF，EG=EN=1，
∴∠PFE=∠EPC．
①当∠PEM=∠PEF时，△PEM≌△PEF，此时PM=PF=5，
∴M₁（4，0）；
当∠PME=∠PEF时，△PEM₂∽△PEM₁，
∴PE²=PM₂•PM₁，2²+1²=PM₂×5，
∴PM₂=1，
∴O与M₂重合，
∴M₂（0，0）；

第二种情况：
把S=
3
2代入S=-
1
2x²+x中，x²-2x+3=0，△＜0，方程无解；

第三种情况：
把S=
3
2代入S=
1
2x²-2x中，解得：x₁=-1（舍去），x₂=3，
∴EG=OP=3，设E（a，3）代入y=x-2得：a=5，
∴E的坐标是（5，3），
∵A（0，2），
∴直线AE的解析式是：y=
1
5x+2，
∵OC=2，设F的坐标是（2，b），代入y=
1
5x+2，得：b=
12
5，
在直角△CPF中，∵CP=1，CF=
12
5，
∴PF=
13
5，
过E作EN⊥PE，利用面积法，S_△CEF+S_△CPE-S_△PEF=S_△PCF．
则
1
2CF•NC+
1
2PF•EN=
1
2CP•EF，即
12
5×3+1×3-
13
5EN=1×
12
5，
∴EN=3．
∵EN⊥PF，EN⊥PN，EN-EG=3，
∴∠FPE=∠EPN，
①当∠EM₃P=∠EFP时，△EPM₃≌△EFP，此时PM₃=PF=
13
5，
∴OM₃=
13
5+3=
28
5，
∴M₃（
28
5，0）；
②当∠PEM₄=∠EFP时，△EPM₄∽△M₃PE，则PE²=PM₃•PM₄，
即（
3）²=
13
5PM₄，
∴PM₄=5，
∴M₄的坐标是（8，0）．
总之，当P在x轴的负半轴时，M的坐标是（4，0）或（0，0）；当P在线段OC上时，不存在；当P在OC上时，M的坐标是（
28
5，0）或（8，0）．