.如图,Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A和点C关于DE所在的直线对称

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/13 17:35:12

.如图,Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A和点C关于DE所在的直线对称
（1）求点A坐标和三角形AEC的面积
（2）求AC所在直线的解析式
（3）在直线AC上是否存在一点F,使得三角形AEF是等腰三角形?求其坐标

(1)由题意知∠CAO=30°,∴∠OCE=∠ECD=∠OCA=30°.
∴在Rt△COE中,OE=OC·tan∠OCE=×=1.
∴点E的坐标是(1,0).
设直线CE的解析式为y=kx+b.
把点C(0,),E(1,0)代入得
∴
∴直线CE的解析式为y=-x+
(2)在Rt△AOC中,
.
∵CD=OC=,
∴AD=AC-CD=2-=.
过点D作DF⊥OA于点F.
在Rt△AFD中,DF=AD·sin∠CAO=,
AF=AD·cos∠CAO=,
∴OF=AO-AF=.
∴点D的坐标是(,)
(3)存在两个符合条件的M点.
第一种情况：此点在第四象限内,设为M1,延长DF交直线CE于M1,连结M1O,
则有DM1‖y轴.
∵OF=,∴设点M1的坐标为(,y1).
又∵点M1在直线CE上,∴将点M1的坐标代入y=-x+中,
得,即.
∴点的坐标是(,-).
又∵,
∴DM1=OC.又∵DM1‖OC,
∴四边形CDM1O为平行四边形.又∵点O在y轴上,
∴点M1是符合条件的点.
第二种情况：此点在第二象限内,设为M2.
过点D作DN‖CE交y轴于N,
过N点作NM2‖CD交直线CE于点M2,
则四边形M2NDC为平行四边形.
∴M2N=CD=.
∵M2N‖CD,DN‖CE,
∴∠NM2C=∠ACE=∠OCE=∠M2CN.
∴CN=M2N.∵M2N=CD=,
∴CN=.
作M2H⊥y轴于点H.
∵M2N‖CD,∴∠M2NC=∠NCD.
∴∠M2NH=∠OCA=60°.
在Rt△M2NH中,
,
.
∴HO=HN+CN+OC=.
∴.
∴点M2是符合条件的点.
综上所述,符合条件的两个点的坐标分别为