已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为√6/3,短轴的一个端点到右焦点的距离为√3,直线L：y=kx+m交

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 23:54:00

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为√6/3,短轴的一个端点到右焦点的距离为√3,直线L：y=kx+m交椭圆于不同的两点A、B,
若m=k,且向量OA*向量OB=0,求k的值

设A(x1,y1),B(x2,y2)
∵短轴的一个端点到右焦点的距离为√3
∴b²+c²=3,即a²=3,a=√3
∵e=c/a=√6/3
∴c=√2,
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆方程为x²/3 +y²=1
∵k=m
∴直线L：y=kx+k=k(x+1)
联立直线和椭圆
y=kx+k=k(x+1)
x²/3 +y²=1
得,
x²/3 +[k(x+1)]²=1
即(3k²+1)x² + 6k²x +3k²-3=0
∵向量OA*向量OB=0
∴向量OA*向量OB=x1x2+y1y2=0
x1x2=(3k²-3)/(3k²+1)
x1+x2=-6k²/(3k²+1)
∵y=k(x+1)
∴y1y2=[k(x1+1)][k(x2+1)]
=k²(x1x2 + x1+x2 + 1)
=k²[(3k²-3)/(3k²+1) -6k²/(3k²+1) + 1]
= -2k²/(3k²+1)
∴x1x2+y1y2=(3k²-3)/(3k²+1) -2k²/(3k²+1)
=(k²-3)/(3k²+1)=0
∴k²-3=0
∴k=±√3