作业帮[高中解析几何]双曲线的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/28 15:29:01
[高中解析几何]双曲线的问题
已知A(1,0)B(2,0)动点M满足角MBA=2角MAB(MAB不等于0)
(1)求动点M的轨迹E
(2)若直线l:y=k(x+7),且轨迹E上存在不同两点C,D关于l对称
i.求直线l斜率k取值范围
ii.是否可能ABCD四点共圆?若可能,求出k值
重点是最后一问,
更正,B(-2,0)
3l方程对,后面不对…答案是k^2
已知A(1,0)B(2,0)动点M满足角MBA=2角MAB(MAB不等于0)
(1)求动点M的轨迹E
(2)若直线l:y=k(x+7),且轨迹E上存在不同两点C,D关于l对称
i.求直线l斜率k取值范围
ii.是否可能ABCD四点共圆?若可能,求出k值
重点是最后一问,
更正,B(-2,0)
3l方程对,后面不对…答案是k^2
(1) 设M(x,y)
角MBA=2a,角MAB=a
因角MAB不等于0,所以:y不等于0
MA的斜率=y/(x-1)=tan(pi-a)=-tana
MB的斜率=y/(x+2)=tan2a
而:tan2a=2tana/(1-(tana)^2)
所以:y/(x+2)=2(y/(1-x))/(1-(y/(1-x))^2)
而:y不等于0,两边消去一个y,得:
2(x+2)(1-x)=(1-x)^2-y^2
3x^2-y^2=3
x^2-y^2/3=1 (其中y不等于0)
此即为M的轨迹方程,是双曲线的左半支,但要扣除y=0的这个点
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点N(x0,y0)
则:CD的斜率=-1/k=(y2-y1)/(x2-x1)
x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
而:3x1^2-y1^2=3
3x2^2-y2^2=3
两式相减
3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0
(y1-y2)/(x1-x2)=3(x1+x2)/(y1+y2)
-1/k=3x0/y0
y0=-3k*x0
而N点在直线l上,y0=k(x0+7)
-3k*x0=k*(x0+7)
x0=-7/4
因此,N点存在于直线x=-7/4上,设它与x^2-y^2/3=1的交点为Q(-7/4,q),Q'(-7/4,q)
则:3(49/16)-q^2=3,q^2=99/16
而,直线l:y=k(x+7),总经过点P(-7,0)
PQ的斜率k1=q/(-7/4-(-7))=(4/21)q
显然:k^2
角MBA=2a,角MAB=a
因角MAB不等于0,所以:y不等于0
MA的斜率=y/(x-1)=tan(pi-a)=-tana
MB的斜率=y/(x+2)=tan2a
而:tan2a=2tana/(1-(tana)^2)
所以:y/(x+2)=2(y/(1-x))/(1-(y/(1-x))^2)
而:y不等于0,两边消去一个y,得:
2(x+2)(1-x)=(1-x)^2-y^2
3x^2-y^2=3
x^2-y^2/3=1 (其中y不等于0)
此即为M的轨迹方程,是双曲线的左半支,但要扣除y=0的这个点
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点N(x0,y0)
则:CD的斜率=-1/k=(y2-y1)/(x2-x1)
x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
而:3x1^2-y1^2=3
3x2^2-y2^2=3
两式相减
3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0
(y1-y2)/(x1-x2)=3(x1+x2)/(y1+y2)
-1/k=3x0/y0
y0=-3k*x0
而N点在直线l上,y0=k(x0+7)
-3k*x0=k*(x0+7)
x0=-7/4
因此,N点存在于直线x=-7/4上,设它与x^2-y^2/3=1的交点为Q(-7/4,q),Q'(-7/4,q)
则:3(49/16)-q^2=3,q^2=99/16
而,直线l:y=k(x+7),总经过点P(-7,0)
PQ的斜率k1=q/(-7/4-(-7))=(4/21)q
显然:k^2