作业帮关于椭圆的解析几何问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/03 10:37:09
关于椭圆的解析几何问题
题：已知直线Y=-X+1与椭圆X²/a² + Y²/b² =1（a>b>0)相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:X-2Y=O上.
问（1）求此椭圆的离心率,
（2）若椭圆的右焦点关于直线L的对称点在圆X²+Y²=4上,求此椭圆的方程.
题：已知直线Y=-X+1与椭圆X²/a² + Y²/b² =1（a>b>0)相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:X-2Y=O上.
问（1）求此椭圆的离心率,
（2）若椭圆的右焦点关于直线L的对称点在圆X²+Y²=4上,求此椭圆的方程.
把y=-x+1 代人 X²/a² + Y²/b² =1 得
x^2/a^2+(-x+1)^2/b^2=1
即：
(a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2-a^2b^2=0
x1+x2=2a^2/(a^2+b^2)
y1+y2=(-x1+1)+(-x2+1)=2-(x1+x2)=2b^2/(a^2+b^2)
线段AB的中点在直线L:X-2Y=O上
a^2/(a^2+b^2)-2*b^2/(a^2+b^2)=0
a^2=2b^2
a^2=2(a^2-c^2)
a^2=2c^2
c^2/a^2=1/2
e=c/a=√2/2
2)
右焦点(c,0)关于直线L:X-2Y=O的对称点为：(3c/5,4c/5)
所以,(3c/5)^2+(4c/5)^2=4
c^2=4
a^2=2c^2=8
b^2=a^2-c^2=8-4=4
椭圆的方程:x^2/8+y^2/4=1
x^2/a^2+(-x+1)^2/b^2=1
即：
(a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2-a^2b^2=0
x1+x2=2a^2/(a^2+b^2)
y1+y2=(-x1+1)+(-x2+1)=2-(x1+x2)=2b^2/(a^2+b^2)
线段AB的中点在直线L:X-2Y=O上
a^2/(a^2+b^2)-2*b^2/(a^2+b^2)=0
a^2=2b^2
a^2=2(a^2-c^2)
a^2=2c^2
c^2/a^2=1/2
e=c/a=√2/2
2)
右焦点(c,0)关于直线L:X-2Y=O的对称点为：(3c/5,4c/5)
所以,(3c/5)^2+(4c/5)^2=4
c^2=4
a^2=2c^2=8
b^2=a^2-c^2=8-4=4
椭圆的方程:x^2/8+y^2/4=1