高一数学，如何求单调区间

高一数学，如何求单调区间

解题思路： 只要你记住了五类基本初等函数的单调区间，其他函数单调性是可以通过函数复合的原则来求的
解题过程：
第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法
【考纲要求】
理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。
【基础知识】
区间具有严格的单调性，区间叫做的单调区间。否则都叫函数不具有严格的单调性。
3、判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像
（1）定义法
用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论。
（2）复合函数分析法
设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：
设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（减函数）。
（4）图像法
一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数。
4、求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像
（1）定义法
（2）复合函数法
先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性。
（3）导数法
在其对称区间上的单调性相减，如函数。
（2）在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数。其他的如增函数增函数不一定是增函数，函数和函数都是增函数，但是它们的乘积函数不是增函数。
（3）求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。
（4）单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。
（5）在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开。
【方法讲评】

例1 证明函数在区间是增函数。
解：设，


函数在区间是增函数。
例2 求函数的单调区间．[来源:学科网]
解：∵函数的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，设x₁、x₂≠0，且x₁<x₂，
f(x₁)－f(x₂)＝x₁＋－x₂－

(1)当x₁<x₂≤－a或a≤x₁＜x₂时，
x₁－x₂<0，x₁·x₂>a²，
∴f(x₁)－f(x₂)<0，∴f(x₁)<f(x₂)，
∴f(x)在(－∞，－a]上和在[a，＋∞)上都是增函数．
(2)当－a≤x₁<x₂<0或0<x₁<x₂≤a时，x₁－x₂<0，
0<x₁·x₂<a²，∴f(x₁)－f(x₂)>0，∴f(x₁)>f(x₂)，
∴f(x)在[－a,0)和(0，a]上都是减函数．

例3 已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意，都有，且当时，
（1）求证是偶函数；（2）在上时增函数；（3）解不等式
解：

【变式演练2】已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有。（1）解不等式（2）若对所有恒成立，求实数的取值范围。
例4 已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）设.如果对任意，，求的取值范围。
解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .
当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；
当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；
当-1＜＜0时，令=0，解得.
则当时，＞0；时，＜0.
故在单调增加，在单调减少.
（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而
，
等价于 ， ①
令，则
①等价于在（0，+∞）单调减少，即
.
从而
故a的取值范围为（-∞，-2].
(Ⅰ)当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使
，求实数取值范围.
例5 设函数，，求函数的单调区间与极值。








+
0
-
0
+

单调递增

单调递减

单调递增

【点评】对于三角函数也可以利用求导的方法求函数的单调区间。
【变式演练4】 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；
②设OP(km) ，将表示成x的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

例6（1）求函数的单调区间；
（2）已知若试确定的单调区间和单调性。
解：（1）函数的定义域为，
设，
在上分别是单调递减和单调递增的，在上是单调递减的，根据复合函数的单调性得函数在上分别单调递增、单调递减。
（2）解法一：函数的定义域为R，
分解基本函数为和。
显然在上是单调递减的，上单调递增；
而在上分别是单调递增和单调递减的。且，根据复合函数的单调性的规则：所以函数的单调增区间为；单调减区间为。
解法二：，
，
令 ，得或，
令 ，或
∴单调增区间为；单调减区间为。
(1)求ω；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间．
方法四
图像法
使用情景
函数的图像比较容易画出。
解题步骤
一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数。
例7 求函数的单调区间。
解：

在同一坐标系下作出函数的图像得
所以函数的单调增区间为减区间为.

【高考精选传真】
1.【2012高考真题重庆理7】已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的（ ）
（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件
（C）必要而不充分的条件 （D）充要条件
【解析】因为为偶函数，所以当在上是增函数，则在上则为减函数，又函数的周期是4，所以在区间也为减函数.若在区间为减函数，根据函数的周期可知在上则为减函数，又函数为偶函数，根据对称性可知，在上是增函数，综上可知，“在上是增函数”是“为区间上的减函数”成立的充要条件，选D.
2.【2012高考真题天津理4】函数在区间(0,1)内的零点个数是( )
（A）0 （B）1
（C）2 （D）3
【解析】因为函数的导数为，所以函数单调递增，又，，所以根据根的存在定理可知在区间内函数的零点个数为1个，选B.
3.【2012高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数；B是奇函数且是减函数；C是奇函数且在，上是减函数；D中函数可化为易知是奇函数且是增函数.故选D.
4.【2012高考真题山东理3】设且，则“函数在上是减函数 ”，是“函数在上是增函数”的( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
5.【2012高考真题广东理4】下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是( )
A.y=ln（x+2） B.y=- C.y=（）^x D.y=x+
【解析】函数y=ln（x+2）在区间（0，+∞）上为增函数；函数y=-在区间（0，+∞）上为减函数；函数y=（）^x在区间（0，+∞）上为减函数；函数y=x+在区间（0，+∞）上为先减后增函数．故选A．
【反馈训练】
1．函数y＝2x²－(a－1)x＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a的值是(　　)
A．1 B．3
C．5 D．－1
2．函数y＝　f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上为增函数．若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤2 B．a≥－2
C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2
上单调递减，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(0，)
C．[，) D．[，1)
4．函数　f(x)＝ln(x＋1)－mx在区间(0,1)上恒为增函数，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，] D．(－∞，)
5．函数f(x)＝ln(4＋3x－x²)的单调递减区间是 (　　)
A. B.
C. D.
6．已知函数f(x)＝若f(2－a²)>f(a)，则实数a的取值范围
是 (　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
7.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 （ ）
（A） (B) （C） (D)
（2）若对任意x∈[1，＋∞，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
10.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
11.f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2.[来源:学&科&网]
12．讨论函数在上的单调性.
13.已知函数()=In(1+)-+(≥0)。
(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求()的单调区间。

15.设函数
（Ⅰ）若a=，求的单调区间；
（Ⅱ）若当≥0时≥0，求a的取值范围
证明：设是区间是任意的两个值，且．

所以



在区间上是增函数．
【变式演练2详细解析】

(2)当时，由，即，解得.
当时，恒成立，此时，函数单调递减；
当时，，时，函数单调递减；
时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减.
当时，当,函数单调递减；
当，函数单调递增.
又已知存在，使，所以，，（※）
又
当时，与（※）矛盾；
当时，也与（※）矛盾；
当时，.
综上，实数的取值范围是.
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函数关系式为
（Ⅱ）选择函数模型①，[来源:学。科。网]
令0 得sin ，因为，所以=，
当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边
km处。
【变式演练5详细解析】
(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋
＝sin(2ωx＋)＋.
令2ωx＋＝，将x＝代入可得：ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋.
经过题设的变化得到的函数
g(x)＝sin(x－)＋.
当x＝4kπ＋π，k∈Z时，函数取得最大值.[来源:Z|xx|k.Com]
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π，
即x∈[4kπ＋，4kπ＋π]，k∈Z为函数的单调递减区间．
【变式演练6详细解析】



所以函数的单调减区间为单调增区间为
【反馈训练详细解答】
4.C【 解析】：　f(x)＝ln(x＋1)－mx在区间(0,1)上恒为增函数，则　f(x)＝ln(x＋1)－mx在区间[0,1]上恒为增函数，f′(x)＝－m≥0在[0,1]上恒成立，m≤()_min＝.
5. D 【解析】　函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x²＋3x＋4＝－²＋的减区间为，
∵e>1，∴函数f(x)的单调减区间为.
6. C【解析】　f(x)＝由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增
函数，由f(2－a²)>f(a)得2－a²>a，即a²＋a－2<0，解得－2<a<1.
7.B【解析】根据奇偶性可以排除A,再画出函数的图像判断，选B.
8.【解析】：任取x₁、x₂∈0，＋且x₁＜x₂，则
又∵x₁－x₂＜0，∴f(x₁)－f(x₂)＞0，即f(x₁)＞f(x₂)
∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，＋∞)上为减函数．
(2)当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x₁=0，x₂=，满足f(x₁)=f(x₂)=1
∴0＜a＜1时，f(x)在［０，＋上不是单调函数
注： ①判断单调性常规思路为定义法；
②变形过程中＜1利用了＞|x₁|≥x₁;＞x₂；
③从a的范围看还须讨论0＜a＜1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现．
9.【解析】： (1)当a=时，f(x)=x＋＋2，x∈1，＋∞)
设x₂＞x₁≥1，则f(x₂)－f(x₁)=x₂＋=(x₂－x₁)＋=(x₂－x₁)(1－)
∵x₂＞x₁≥1，∴x₂－x₁＞0，1－＞0，则f(x₂)＞f(x₁)
可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞上的最小值为f(1)=．
(2)在区间［1，＋∞上，f(x)=＞0恒成立x²＋2x＋a＞0恒成立
设y=x²＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)²＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数，
当x=1时，y_min=3＋a，于是当且仅当y_min=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．
10.【解析】(1)证明：法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．
在R上任取x₁>x₂，则x₁－x₂>0，
f(x₁)－f(x₂)＝f(x₁)＋f(－x₂)＝f(x₁－x₂)．
又∵x>0时，f(x)<0，而x₁－x₂>0，∴f(x₁－x₂)<0，
即f(x₁)<f(x₂)．
因此f(x)在R上是减函数．
法二：设x₁>x₂，
则f(x₁)－f(x₂)
＝f(x₁－x₂＋x₂)－f(x₂)
＝f(x₁－x₂)＋f(x₂)－f(x₂)
＝f(x₁－x₂)．
又∵x>0时，f(x)<0.而x₁－x₂>0，
∴f(x₁－x₂)<0，
即f(x₁)<f(x₂)，[来源:Zxxk.Com]
∴f(x)在R上为减函数．
(2)解析：∵f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．
而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.
∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
11.【解析】　(1)令x＝y，得f(1)＝0.
(2)由x＋3>0及>0，得x>0,
由f(6)＝1及f(x＋3)－f<2，
得f[x(x＋3)]<2f(6)，
即f[x(x＋3)]－f(6)<f(6)，
亦即f<f(6)．
因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以<6，
∵
当时，，此时函数在上是单调减函数；
当时，，此时函数在上是单调增函数；
13.【解析】（I）当时，，
由于，，
所以曲线在点处的切线方程为

即
当时，
故得单调递增区间是.
当时，，得，.
所以没在区间和上，；在区间上，

故得单调递增区间是和，单调递减区间是
14.【解析】（I）当时则在内是增函数，故无极值。
（II）令得

由及（I），只需考虑的情况。
当变化时，的符号及的变化情况如下表：


0




＋
0
－
0
＋


极大值

极小值

因此，函数在处取得极小值且
要使必有可得所以
（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数在内是增函数，则须满足不等式组
　　　或
由（II），参数时，要使不等式关于参数恒成立，必有
综上，解得或所以的取值范围是
若，则当时，，为减函数，而，从而当时＜0，即＜0.综合得的取值范围为